Математические олимпиады по лигам. 5-9 классы - [6]

Шрифт
Интервал

5. Решите задачу из немецкого рукописного трактата из мюнхенского собрания (XV век).

«Некто имеет работников и деньги. Если он даст каждому работнику 5 монет, у него остается 30, а если 7 монет, то не хватит 30. Спрашивается, сколько у него работников?»

6. Решите уравнение

Высшая лига

1 тур

1. Найдите значение выражения (a ? a ? a – b ? b ? b): (а ? а + a ? b + b ? b), если а = 17, Ь = 14.

2. Решите уравнение 72: (38 ? 26: (17–92: х)) = 2.

3. Расставьте вместо букв цифры так, чтобы получилось верное равенство (разным буквам соответствуют разные цифры): У – Р = А: В = Н ? Е = Н + И = Е.

4. Из села по дороге в полдень вышла Таня со скоростью 6 км/ч. В 13 ч 00 мин вслед за ней вышел Игорь со скоростью 8 км/ч. А в 14 ч 00 мин из того же села вдогонку на велосипеде выехала Света. С какой скоростью должна ехать Света, чтобы догнать Игоря в тот момент, когда Игорь догонит Таню?

5. В команде 7 мальчиков и 6 девочек. Вначале все мальчики обменялись рукопожатиями друг с другом. Затем каждый мальчик обменялся рукопожатием с каждой девочкой. А вот девочки друг другу руки решили не жать. Сколько всего было рукопожатий?

6. Дан квадрат АВСЕ со стороной 4 см. Точка К – середина стороны АВ, точка М – середина стороны ВС. Найдите площадь треугольника МКЕ.

2 тур

1. На могиле Диофанта (древнегреческий математик) имеется надпись: «Шестую часть его жизни заняло детство, двенадцатую – отрочество, седьмую – юность. Затем протекла половина его жизни, после чего он женился. Через 5 лет у него родился сын, а когда сыну минуло 4 года, Диофант скончался». Сколько лет жил Диофант?

2. Найдите х, если 54 км/ч = х м/с.

3. Алеша дал Боре столько яблок, сколько у Бори было. Потом Боря дал Алеше столько яблок, сколько у того стало. После этого у мальчиков оказалось по 4 яблока. Сколько яблок было у каждого первоначально?

4. Дядя Федор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин поспорили: кто больше выпьет молока. После того, как молоко было выпито, каждый из них высказался:

Дядя Федор: «А все-таки я не оказался последним!» Кот Матроскин: «Я выпил не больше, но и не меньше всех». Шарик: «Я маленький, поэтому выпил меньше всех». Почтальон Печкин: «Я вас всех победил!» Один из них сказал неправду. Кто победил в соревновании, и кто сказал неправду?

5. Вычислите 7288: 8 + 6363: 7 – 2000 + 1000: 250 + 276.

6. Частное равно 100. Делимое уменьшили на делитель. Узнайте новое частное.

3 тур

1. Найдите наибольшее целое число, дающее при делении на 13 неполное частное 17.

2. Сколько существует натуральных двузначных чисел, у которых первая цифра в два раза больше второй?

3. Найдите закономерность в последовательности чисел и определите, сколько в этой последовательности трехзначных чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

4. Три землекопа за 2 ч выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за 5 ч?

5. Сколько треугольников «спрятано» на рисунке?

6. Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» А передний старый гусь ему и отвечает: «Нет, нас не сто гусей! Вот, если б нас было еще столько, да еще полстолька, да еще четверть столько, да ты, гусь, то было бы сто гусей, а теперь... Вот и рассчитай-ка, сколько нас?»

4 тур

1. 3 кедровых ореха можно обменять на 2 лимона, а 3 лимона можно обменять на 4 яблока. Сколько кедровых орехов можно обменять на 16 яблок?

2. Из цифр 0, 2, 3, 5, 8 составьте все трехзначные числа, сумма цифр в каждом из которых равна 8 (цифры в числе могут повторяться).

3. Путь, пройденный туристом за один день, оказался в три раза больше, чем половина оставшегося пути. Какую часть всего пути прошел турист за день?

4. Придумайте задачу, которая решалась бы с помощью уравнения 2 ? (х + 1) + х = 32.

5. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке. Площадь одной клетки равна 1.

6. В токарном цехе вытачиваются детали из стальных заготовок, из одной заготовки – деталь. Стружки, оставшиеся после обработки трех заготовок, можно переплавить и получить ровно одну заготовку. Сколько всего деталей можно сделать из 9-ти заготовок? А из 14-ти? Сколько нужно взять заготовок, чтобы получить 40 деталей?

5 тур

1. Сумма шести различных натуральных чисел равна 22. Найдите эти числа.

2. Пятиклассникам очень понравилась поездка в Великий Устюг, и они решили поехать туда снова, дабы навестить веселых Дедов Морозов. Ежемесячно каждый ученик вносил определенное количество рублей (без копеек), одинаковое для всех, и в течение пяти месяцев было собрано 49 685 р. Сколько было в группе учеников, и какую сумму внес каждый?

3. Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разбились на пары и начали кататься. Оказалось, что в каждой паре «кавалер» выше «дамы» и никто не катается со своей сестрой. Самым высоким в компании был Юра Воробьев, следующим по росту – Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Сережа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов, Инна Крымоваи Аня Воробьева. Определите, кто с кем катался?

4. Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. Найдите первые три числа, имеющие ровно три различных делителя. Догадаетесь ли вы, какие числа имеют только три различных делителя?

Продолжить чтение
Еще от автора Андрей Николаевич Павлов
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

В пособии конспективно изложен школьный курс геометрии. Приведены комплекты экзаменационных билетов, задачи и их решения, распределённые по различным уровням сложности.Материалы пособия соответствуют учебной программе школьного курса геометрии.Для учителей и учащихся 9-х классов.

Интеллектуальные марафоны в школе. 5-11 классы

В пособии представлены материалы для проведения интеллектуальных марафонов – разнообразных по форме конкурсов знаний учеников 5-11 классов по всем предметам школьной программы. Завоевавшие популярность благодаря телевидению, такие конкурсы сочетают увлекательность игры и спортивную соревновательность, развивают интерес к знаниям, память и внимание, активизируют общение и творческую энергию участников.Для учителей, педагогов – организаторов внеклассной работы в общеобразовательных школах, гимназиях и лицеях.

Рекомендуем почитать
Флатландия. Сферландия

Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.

Стратегии решения математических задач

Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.

Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.

Симпсоны и их математические секреты

Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.

Истина и красота: Всемирная история симметрии

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.

Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.