Логика для всех. От пиратов до мудрецов - [8]
Комментарий 2. Аналогично можно верно высказываться не только о живых тираннозаврах, но вообще обо всем, чего на самом деле нет. Например, все кролики, проглотившие удава, остались голодными. (Не верите? Тогда найдите кролика, проглотившего удава, и поинтересуйтесь, сыт ли он.) А все четные числа, оканчивающиеся на 5, оканчиваются на 7. С точки зрения формальной логики любое высказывание обо всех элементах пустого множества верно, потому что к нему не может быть приведен контрпример.
Есть и другая причина считать верными высказывания о современных тираннозаврах и прочих несуществующих объектах. Начнем с несомненно истинного высказывания «Все числа, кратные 12, четны». Дополнив условие, мы получим следствие из него, которое тоже должно быть истинным. Например, «Все трехзначные числа, кратные 12, четны». Или «Всякое число с суммой цифр 30, кратное 12, четно». Или «Всякое число с суммой цифр 100, кратное 12, четно». А теперь заметим, что числа с суммой цифр 100, кратные 12, – такие же несуществующие объекты, как и современные тираннозавры.
Задача 3.4*. Рассмотрим два высказывания:
А: Некоторым Мишиным одноклассникам 12 лет.
Б: Всем Мишиным одноклассникам 12 лет.
Можно ли, ничего не зная про Мишу, утверждать, что:
1) если верно А, то верно и Б;
2) если верно Б, то верно и А?
Обсуждение. Если бы речь шла об одном конкретном Мише, вопрос был бы неинтересен. Например, Миша учится в шестом классе, у него двадцать одноклассников и всем им по 12 лет; тогда оба высказывания, А и Б, истинны. Однако в задаче требуется понять, может ли для какого-нибудь Миши первое высказывание оказаться верным, а второе нет (т. е. возможен ли контрпример).
Решение. 1) Нельзя. Контрпример очевиден: пусть у Миши 5 (или любое другое натуральное число) одноклассников, которым двенадцать лет, и 20 (или любое другое натуральное число) тринадцатилетних одноклассников. Тогда А истинно, а Б ложно.
2) Как ни странно, тоже нельзя! Для построения контрпримера предположим, что Мише три года, и никаких одноклассников у него вообще нет. Верно ли утверждение Б? Верно! Кто не согласен, пусть предъявит контрпример – Мишиного одноклассника другого возраста. А утверждение А, означающее, что существует хотя бы один Мишин двенадцатилетний одноклассник, неверно.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 3.5. Землянин Вася сказал: «Все марсиане лжецы». Прав ли Вася?
Задача 3.6. Есть 30 гирек, которые весят 1 г, 2 г, 3 г, …, 30 г. Можно ли разложить их: 1) на две кучки одинакового веса; 2) на три кучки одинакового веса?
Задача 3.7. 1) Можно ли заполнить таблицу 3x3 натуральными числами так, чтобы сумма чисел в каждой строке была четным числом, а в каждом столбце – нечетным? 2) А таблицу 4x4?
Задача 3.8. Верно ли, что периметр любого четырехугольника, целиком находящегося внутри данного квадрата, меньше периметра этого квадрата?
Задача 3.9. Верно ли, что все числа вида 2>n + 15, где n – натуральное число, простые?
Задача 3.10. Рассмотрим натуральные числа, в записи которых нет нулей.
1) Найдется ли среди них десятизначное число, делящееся на сумму своих цифр?
2) А стозначное?
Задача 3.11. 1) Какие из высказываний А – Д означают одно и то же?
2) Будем считать высказывание А истинным. Какие из других высказываний в таком случае наверняка истинны?
А: Дед Мороз – волшебник.
Б: Существует хотя бы один дед-волшебник.
В: Существует ровно один дед-волшебник.
Г: Некоторые деды – волшебники.
Д: Некоторые волшебники – деды.
Задача 3.12*. Найдите ошибку в рассуждениях.
«Рассмотрим три высказывания:
А: Существует хотя бы один дед-волшебник.
Б: Дед Мороз – волшебник.
В: Все деды – волшебники.
Можно ли утверждать, что если верно В, то верно и А? Нет: контрпримером является ситуация, когда множество дедов пусто (аналогично задаче про Мишиных одноклассников).
С другой стороны, если верно В, то верно и Б (иначе Дед Мороз служил бы контрпримером к высказыванию В). Но если верно Б, то верно и А (для доказательства существования достаточно привести пример, в данном случае Дед Мороз – пример). Итак, если верно В, то верно и А».
Задача 3.13 Прокомментируйте доказательство существования Деда Мороза, изложенное в виде диалога двух логиков.
Первый: «Если я не ошибаюсь, Дед Мороз существует».
Второй: «Разумеется, Дед Мороз существует, если вы не ошибаетесь».
Первый: «Следовательно, мое утверждение истинно». Второй: «Разумеется!»
Первый: «Итак, я не ошибся, а вы согласились с тем что если я не ошибаюсь, то Дед Мороз существует. Следовательно, Дед Мороз существует».
Занятие 4
Пиратская логика, или Высказывания с союзами «и», «или»
Пираты!Ни пуха, ни пера!Юлий Ким
На этом занятии кружковцы научатся строить отрицания к высказываниям с союзами «и» и «или». На нем продолжается работа с понятием отрицания и законом исключенного третьего, а также с кругами Эйлера в качестве иллюстраций. Появляются таблицы истинности, которые пригодятся на пятом занятии. Однако при желании его можно с минимальными изменениями провести и независимо от других занятий книжки, поскольку уровень сложности рассчитан на начинающих.
Но вот парадокс: дети сравнительно легко справляются с предложенными задачами. Если кто-то ошибся, он быстро исправляется. Но через некоторое время многие ошибутся в аналогичном месте. Почему?
