Логика для всех. От пиратов до мудрецов - [7]
Однажды Танечка и Ванечка услышали про Африку. И подумали, что в Африке водятся большие звери. Они дождались, когда мама с папой уснули, и убежали в Африку. Там Танечка успела увидеть только мартышку, а Ванечка бегемота. Тут как раз проснулись родители. Они обо всем догадались и забрали детей из Африки домой. На обратном пути дети заспорили.
– Правда, африканские звери большие? Я же сам видел! – спросил у папы Ваня.
– Нет, африканские звери маленькие, – не соглашалась Таня. – Я тоже сама видела. Вот скажи, папа, кто из нас прав?
– А это смотря как понимать вопрос, – начал папа. – Можно так: «Верно ли, что НЕКОТОРЫЕ африканские звери большие?»
– Да, верно! – торжествующе посмотрел на сестру Ваня. – Например, бегемот, которого я видел.
– Молодец, – похвалил папа. – Для ответа «Да» на вопрос про некоторых достаточно привести один пример.
– А если бы я не увидел бегемота? – забеспокоился Ваня. – Тогда из-за Танькиной мартышки ответ был бы «Нет, неправда»?
– Ну что ты! – успокоил его папа. – Размеры животных не зависят от того, видишь ли ты их. Даже если встретишь тысячу маленьких мартышек, отвечать «Нет» еще рано. Понимаешь почему?
– Понимаю, – сказал Ваня. – Бегемот или другой пример мог просто хорошо спрятаться!
– Поэтому ответ «Нет» на вопрос про некоторых объяснить бывает непросто, – вздохнула мама. – Для этого требуется настоящее доказательство.
А папа продолжил:
– Но ваш вопрос можно понять и совсем по-другому: «Верно ли, что ВСЕ африканские звери большие?».
– Откуда мы знаем? Мы же не успели увидеть всех зверей, – начал было Ваня, но Танечка его перебила:
– А вот и знаем! Не все. Ведь я же видела маленькую мартышку!
– Хорошо, что ты ее увидела, – похвалил папа. – Твоя мартышка – прекрасный…
– Пример! – перебила Танечка.
– Почти, – согласился папа. – Только пример, который помогает опровергнуть предположение, называется КОНТРПРИМЕР. И для ответа «Нет» на вопрос про всех достаточно привести один контрпример.
– А если ответ был бы «Да»? – хором спросили дети. – Как называется нужный пример?
– Никак не называется, – ответил папа. – Потому что его нет. Никакими примерами не убедишь, что где-нибудь ВСЕ звери большие.
– Поэтому ответ «Да» на вопрос про всех объяснить бывает непросто, – вздохнула мама. – Для этого требуется настоящее доказательство.
– А если ты уже тысячу зверей встретил и все они большие? – с надеждой спросил Ванечка.
– Ну и что! – победно вскричала Танечка. – Хоть миллион! Моя маленькая мартышка тем более могла спрятаться! Еще получше твоего бегемота!
Пока Танечка и Ванечка выясняют, кто лучше прячется, опишем с помощью таблицы два типа утверждений:
Там, где стоят знаки вопроса, общего рецепта нет, для каждой задачи приходится искать свое доказательство.
Задача 3.1. Определите, какие из утверждений верны. Где можно, подтвердите свой ответ примером (контрпримером). В остальных случаях обоснуйте его по-другому.
1. Все нечетные числа простые.
2. Все простые числа нечетные.
3. Некоторые нечетные числа простые.
4. Некоторые простые числа нечетные.
5. Все четные числа составные.
6. Все числа вида р + 7, где р – простое, являются составными.
Ответ. Верны утверждения 3, 4, 6.
Решение. Привести контрпримеры к утверждениям 1, 2, 5 и примеры к утверждениям 3, 4 предоставляем читателю. Для доказательства утверждения 6 рассмотрим два случая. Если р = 2, то число р + 7 = 9 – составное. Если простое число p ≠ 2, то оно нечетное, поэтому р + 7 – четное и больше 2, следовательно, составное.
Задача 3.2. Верно ли высказывание: «Любое нечетное число, большее 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел»?
Обсуждение. На первый взгляд это утверждение мало отличается от сформулированных в предыдущем задании. Попробуем рассуждать так же. Для начала поищем контрпример (как в пунктах 1, 2 и 5 предыдущей задачи): 7 = 2 + 2 +3, 9 = 3 + 3 +3, 11 = 3 + 3 + 5 и т. д. Не получается? Что ж, попытаемся доказать, что утверждение верно (как в пункте 6). Тоже не получается? Не огорчайтесь, вы не одиноки! Еще в 1742 году Кристиан Гольдбах предложил эту задачу Леонарду Эйлеру. Позже она получила название тернарной проблемы Гольдбаха. Ей занимались многие математики, но лишь в 2013 году американский математик Харальд Хельфготт окончательно доказал, что гипотеза Гольдбаха верна. А бинарная проблема Гольбаха, упоминавшаяся на первом занятии, не решена до сих пор.
Задача 3.3*. Верно ли утверждение: «Все дожившие до наших дней тираннозавры умеют вышивать крестиком»?
Обсуждение. Утверждение звучит странно и на первый взгляд кажется неверным. Что ж, попробуем его опровергнуть. Для этого нужно привести контрпример – то есть дожившего до наших дней тираннозавра, не умеющего вышивать крестиком. Поскольку его не существует, то утверждение верно.
Ответ. Да, верно.
Комментарий 1. Сравним две последние задачи. Поиск контрпримера в обеих оказался затруднительным. Но эти затруднения разного характера. Контрпример к проблеме Гольдбаха мы найти не могли, но не были уверены, что его не сможет найти кто-то более умный или терпеливый. Поэтому вывода сделать не могли (а Харальд Хельфготт смог!). А вот живого тираннозавра не только мы с вами не можем найти, но и уверены, что никто другой не найдет.
