Логика для всех. От пиратов до мудрецов - [9]

Шрифт
Интервал

Как указано в предисловии, основные трудности учащиеся испытывают там, где формальный смысл высказывания отличается от разговорной практики. Одно из таких отличий связано с тем, что если два простых предложения объединить союзом «и» в сложносочиненное, смысл сказанного на бытовом уровне не изменится. Какая, казалось бы, разница, как сказать: «Беня врун. И Веня врун» или «Беня и Веня оба вруны»? Если это говорит правдивый человек, действительно, никакой. А вот если лгун – разница есть (см. задачу 4.8). Другое отличие связано с разделительным и неразделительным пониманием союза «или» и описано в замечаниях между задачами 4.2 и 4.3 и в задаче 4.4. Чтобы такого рода трудности преодолеть, недостаточно сообщить таблицу истинности и решить одну задачу. Для большинства учащихся и одного занятия будет недостаточно. Рекомендуем руководителю кружка часть предложенных здесь задач оставить «на потом». Для закрепления можно брать дополнительные задачи, а можно и придумывать в необходимом количестве задачи, аналогичные задачам 4.2, 4.3, 4.6.


Четыре молодых пирата, Арчи, Бен, Вилли и Глен, зарыли на острове клад. Каждый запомнил место: от старой пальмы 100 футов на восток, потом 100 футов на север. Через много лет четыре старых пирата вернулись на остров за кладом. Как ни странно, старая пальма до сих пор уцелела! Впрочем, то, что до сих пор уцелели все четыре морских разбойника, следует признать еще более странным. Правда, несоблюдение режима дня и злоупотребление спиртными напитками не лучшим образом сказались на их памяти. И если стороны света настоящий пират не перепутает до самой смерти, то вот с числами дело обстояло куда хуже. Вот что думал каждый пират про место расположения клада:

Арчи: от пальмы 30 футов на восток, потом 120 футов на север;

Бен: от пальмы 100 футов на восток, потом 120 футов на север;

Вилли: от пальмы 30 футов на восток, потом 100 футов на север;

Глен: от пальмы 100 футов на восток, потом 100 футов на север.

Каждый отправился рыть свою яму. Пока пираты занимаются земляными работами, сравним их мнения. С одной стороны, Бен и Вилли ошиблись меньше, чем Арчи: каждый из них верно вспомнил одно из двух чисел. И, возможно, школьный учитель поставил бы Глену 5, Арчи 2, а Бену и Вилли 3 за частично верный ответ. Но при поисках клада место не может быть «частично верным»: оно указано либо верно, либо нет. И в результате Глен найдет клад, а Арчи, Бен и Вилли не найдут.

Математическая логика больше напоминает поиски клада, чем школьные оценки. Она не признает полуправды: всякое высказывание либо истинно, либо ложно. В нашем случае истинно лишь мнение Глена. Утверждения же трех пиратов, не нашедших клад, следует признать ложными.

Вообще, если высказывание составлено из двух простых высказываний, соединенных союзом «и» (или союзами «а», «а также», «но» или просто запятой), то оно:

• истинно, если истинны оба простых высказывания;

• ложно, если хотя бы одно из двух простых высказываний ложно.

Обозначив простые высказывания как А и Б, можно кратко записать это правило в виде таблицы истинности высказывания «А и Б». В этой таблице буква И означает истину, а Л – ложь.



Задача 4.1. Подберите подходящую строку в таблице истинности для высказываний каждого из 4 пиратов.

Ответ: Высказыванию Арчи соответствует четвертая строка, Бена – вторая, Вилли – третья, Глена – первая.

Задача 4.2. Какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны?

1) Утка умеет плавать и летать.

2) Курица умеет плавать и летать.

3) Камбала умеет плавать и летать.

Решение: 1) Высказывание истинно, так как составлено с помощью союза «и» из двух истинных высказываний: «Утка умеет плавать» и «Утка умеет летать». Оно соответствует первой строке таблицы истинности.

2) Высказывание ложно, так как составлено с помощью союза «и» из двух ложных высказываний: «Курица умеет плавать» и «Курица умеет летать». Оно соответствует четвертой строке таблицы истинности.

3) Высказывание ложно, так как составлено с помощью союза «и» из истинного высказывания «Камбала умеет плавать» и ложного «Камбала умеет летать». Оно соответствует второй строке таблицы истинности.

Комментарий. Изобразим ситуацию с помощью кругов Эйлера (см. рис. 5). Поместим в первый круг умеющих плавать, во второй – умеющих летать. Высказывание «…умеет плавать и летать» истинно для существ, находящихся в пересечении кругов, и ложно для всех остальных.


Рис. 5


Но не стоит покидать пиратов надолго. Пора вернуться на остров и посмотреть, чем они заняты. Клад пока не найден. Трое продолжают копать. И только самый сильный из них, Арчи, задумчиво сидит под пальмой. Он копал гораздо быстрее остальных и уже успел убедиться в своей ошибке. Теперь он знает, что высказывание «Клад находится в 30 футах к востоку и в 120 футах к северу от пальмы» ложно. Это означает, что ложно хотя бы одно из двух составляющих его простых высказываний. То есть клад находится от пальмы не в 30 футах к востоку или не в 120 футах к северу.

Замечание 1. Если говорить точнее, то клад находится от пальмы либо не в 30 футах к востоку, либо не в 120 футах к северу, либо и не в 30 футах к востоку, и не в 120 футах к северу. Звучит длинно и малопонятно. Для удобство математики договорились вместо «Либо А, либо Б, либо то и другое вместе» говорить короче: «А или Б». При этом подразумевается, что случай «А и Б оба выполняются» тоже возможен.

Продолжить чтение
Рекомендуем почитать
Квантовый оптоэлектронный генератор

В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.

Флатландия. Сферландия

Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.

Стратегии решения математических задач

Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.

Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.

Симпсоны и их математические секреты

Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.

Истина и красота: Всемирная история симметрии

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.