Искусственный интеллект - [133]

В формальные структуры математики включены такие идеальные (обозначаемые символами и их последовательностями) концептуальные объекты, как, например, числа, множества, группы, функции, векторы, операторы, матрицы, интегралы и т.д., с которыми могут осуществляться формально заданные операции - сложение, умножение, преобразование, композиция, интегрирование и др. Независимо от вида символьной репрезентации концептуальных объектов - будь то теоретико-множественные, алгебраические и пр. символы, либо визуально представляемые символьные изображения в виде геометрических фигур, графиков и т.д. - математика конструирует свои формальные структуры только с помощью своих собственных гипотез и правил преобразования (а также формальных и неформальных логических правил)^{106. Разумеется, это не означает, что математическое познание, являющееся продуктом эволюции знаковосимволического мышления и символьного сознания, совершенно не использует ресурсов пространственно-образного мышления. В силу межполушарной кооперации и «разделения труда» именно пространственно-образное мышление обеспечивает (кроме всего прочего) наше общее} целостное понимание смысла математических и логических формализмов. Оно также способно манипулировать образными репрезентациями в воображаемом идеальном трехмерном математическом пространстве.

Как формальные системы математические теории непосредственно не приложимы к внешней, «внемыслительной» реальности, и ничего о ней не говорят. Но они применимы к этой реальности опосредованно - через применение к идеальным понятиям и концептуальным системам, создаваемым нашей когнитивной системой, в которых заключены наши эмпирически проверяемые знания, зафиксированы теоретические допущения и гипотезы эмпирических наук. Математические формализмы позволяют извлечь из идеальных объектов эмпирических дисциплин потенциально содержащуюся в них концептуальную информацию, т.е. новые знания о природных и социальных явлениях. Исследуя функционирование механизмов, технических устройств и т.п. с помощью математических моделей, мы можем вывести из них, вычислить ранее неизвестную концептуальную информацию, касающуюся их поведения в различных ситуациях, сделать соответствующие расчеты, позволяющие улучшить их конструкции, их производительность, эффективность, экономичность и т.д. Разумеется, научные и технические знания, полученные благодаря применению математических формализмов, подлежат эмпирическим (экспериментальным) проверкам, которые могут их подтвердить или опровергнуть. Но это не означает, что вместе с этими знаниями подобной эмпирической проверке подвергаются математические формализмы, обеспечивающие их выведение. В силу своей независимости от эмпирического опыта, относящегося к «внешней» реальности, они не могут быть с его помощью доказаны или опровергнуты.

Математические формализмы не являются частью физических, химических, астрономических и пр. гипотез, они «нейтральны» по отношению к их содержанию и сами по себе не обладают специально-научным эмпирическим смыслом (интерпретацией). Математические формализмы могут быть частью только математических теорий. Но почему мы тогда уверены, что математические формализмы действительно являются «описаниями природы» (например, уравнение Дирака) или «описаниями эволюции общества» (например, нелинейные уравнения)?

В нашей повседневной жизни мы широко используем математические вычисления. Мы считаем вещи и предметы, подсчитываем прибыль или убытки, вероятность получения дохода при покупке или продажи акций, сравниваем рыночные цены товаров, составляем бухгалтерские балансы, сметы расходов и т.д. Пересчитывая какое-то множество предметов, мы, однако, далеки от мысли, что число является внутренне присущим им признаком. Таким образом, в нашем обыденном познании мы ограничиваемся лишь инструментальной функцией математических формализмов и не делаем далеко идущих выводов о внутренней «присущности» реальным физическим объектам (вещам) свойств идеальных концептуальных объектов и формальных структур математики.

Однако в развитом научном познании исследователи-теоретики имеют дело не с непосредственно, перцептивно воспринимаемыми физическими объектами, а с идеальными концептуальными системами (гипотезами, научными теориями, теоретическими моделями и т.д.), адекватность которых структурам физического мира может быть проверена только косвенным образом с помощью экспериментов. Поскольку и идеальные концептуальные системы научных знаний и математические (и логические) формализмы - это «однопорядковые» структуры нашего знаково-символического (логико-вербального) мышления, то в высокоабстрактных областях теоретического естествознания (например, в физике) математические теории (или их фрагменты) могут выступать не только как средство вычислений, но и как исключительно мощный когнитивный инструмент порождения новых научных понятий и идеальных концептуальных систем конкретных научных дисциплин (или даже нескольких областей одной дисциплины)^{107. Приписывая математическим понятиям физические интерпретации (смыслы), мы получаем возможность как бы «оседлать» формализм и путем его преобразования выявлять с его помощью ранее неизвестную концептуальную информацию. Формальная достоверность математических преобразований (выводов) лежит в основе нашей когнитивной уверенности в том, что полученные в результате таких преобразований математические понятия (формулы) также должны иметь какие-то физические смыслы. Благодаря способности генерировать новые научные понятия и концептуальные системы математические формализмы оказываются важнейшим структурным элементом дедуктивной системы абстрактных научных теорий, они позволяют выводить следствия из их исходных и дополнительных гипотез, а также вычислять экспериментально проверяемые параметры (величины)}