Искусственный интеллект - [134]

. Более того, в силу универсальности математических формализмов как идеальных структур знаково-символического мышления они могут порождать не только понятийные каркасы отдельных научных теорий, но и концептуальные системы целого класса теорий, выступая по отношению к этим теориям в качестве базовых математических моделей. Примером могут служить уравнение теплопроводности, волновое уравнение и уравнение Лапласа, составляющие основу математического аппарата классической физики¹⁰⁹. И, наконец, функцию своего рода «синтаксиса», порождающей грамматики математические формализмы выполняют и по отношению к изолированным научным гипотезам и конкретным теоретическим моделям, а также в прикладных и технических дисциплинах, где широко применяются приближенные методы вычислений.

История физики дает множество примеров, свидетельствующих о том, что формированию каждой её новой области, возникновению каждой новой физической теории предшествовала разработка соответствующих разделов математики. Без изобретения математического анализа, интегрального и дифференциального исчислений было бы невозможно создание классической механики, без теории вероятности - молекулярно-кинетической теории и вообще классической статистической физики, без векторного анализа - классической электродинамики Максвелла, без тензорного анализа - теории относительности, без теории гильбертовых пространств, матричной алгебры, теории линейных дифференциальных уравнений - квантовой механики, без теории групп и обобщенных функций - теория элементарных частиц и т.д. Причем создание новых математических теорий, как правило, обусловливалось проблемами, совершенно независимыми от положения дел в физике.

В формальных аксиоматических теориях математики значения исходных терминов с самого начала не определяются, и они остаются неопределенными при выводе теорем из аксиом. Мы, поэтому, можем произвольно выбирать значения этих исходных терминов при одном только условии, что аксиомы останутся истинными. Но почему мы выбираем именно эти аксиомы, а не другие? Выбор диктуется прежде всего тем, приложима ли данная система к любым идеальным объектам, заданным извне в качестве интерпретации исходных терминов. Во многих случаях в качестве интерпретации какой-либо системы аксиом берется система концептуальных объектов из какой-нибудь другой аксиоматической теории. Тогда вопрос сводится к значению этой другой аксиоматической теории. Но когда мы утверждаем, что какое-то конкретное предложение данной формальной аксиоматической теории является теоремой, и что оно истинно, то это означает лишь, что это предложение вытекает из аксиом. Однако вопрос о том, что этому предложению соответствует в действительности и соответствует ли вообще, остается открытым, поскольку в формальной аксиоматике формальные выводы проводятся до какого бы то ни было приписывания значений исходным терминам. Неопределенность исходных терминов и нефиксированность операций составляют теоретическую основу универсальности математики и её языка, многообразия приложений математических формализмов как идеальных знаково-символических структур, обеспечивающих развертывание потенциальной концептуальной информации в понятийных системах самых различных дисциплин. Убедительным примером здесь может служить современная алгебра, в частности, абстрактная теория групп, система аксиом которой допускает существенно различные интерпретации - она обеспечивает извлечение новой когнитивной информации из самых разнообразных концептуальных объектов, будь то античастицы (ядерная физика) или брачные отношения (социология). Таким образом, в силу идеальной и сугубо «ментальной» природы математики, язык формальных математических структур знаково-символического мышления универсален. Благодаря этому открываются возможности для глубоких аналогий между различными областями математизированных дисциплин. Открытая, например, в свое время Гамильтоном оптико-механической аналогии, сыгравшей впоследствии важную роль в создании квантовой механики, была инициирована сугубо формальным подобием математического уравнения движения материальной точки в консервативном поле и уравнения лучевой оптики.

Разумеется, во многих областях естествознания и особенно в общественных и гуманитарных дисциплинах гипотезы формулируются не на языке математики, а вербально, в словесной форме. Соответственно, их дедуктивный аппарат включает главным образом логические формализмы (законы логики). Это, однако, не означает, что в этих дисциплинах в качестве полезных эвристических инструментов вообще не привлекаются математические гипотезы, математические и компьютерные модели. Для их подключения здесь обычно вводятся упрощающие идеальные допущения, которые, правда, не всегда оказываются по результатам эмпирических проверок достаточно реалистичными. Для современных социогуманитарных дисциплин характерна все увеличивающаяся инструментальная значимость математических моделей. Речь, конечно, идет не только о прикладной социологии или экономических науках, широко использующих компьютерное моделирование (в том числе и динамических процессов). В антропологии, например, применение компьютерных моделей позволило установить, что в силу анатомических особенностей гортани все виды древних гоминид, включая неандертальцев, в принципе не могли обладать способностью к членораздельной речепродукции. Подсчеты вариаций митохондриальной и аутосомной ДНК дали основание предполагать, что наш подвид Homo sapiens sapiens возник приблизительно 200 тыс. лет назад. Такого рода вычисления легли также в основу ряда исторических и этнографических гипотез о географическом расселении древних народов и эволюции современных человеческих популяций