А ну-ка, догадайся! - [34]

Предположим, что на длинном листе бумаги сверху вниз выписаны исходы длинной серии бросаний монеты. Выберите наугад зазор между двумя последовательными бросаниями (например, зажмурьте глаза и проведите по листу горизонтальную черту). Найдите ближайший к проведенной черте «орел» сверху и снизу и подсчитайте число испытаний, отделяющих один «орел» от другого. Повторите эту операцию многократно. Чему будет равно среднее расстояние между «орлами»?

Интуитивно кажется, что «орлы» должны быть в среднем разделены двумя бросаниями. В действительности в среднем их разделяют три бросания.

Причина та же, по которой любвеобильный парень обычно садился в поезд, идущий на восток. Одни серии испытаний между последовательными «орлами» короткие, другие — длинные. Случайно проведенная линия аналогична случайному выбору момента прибытия парня на станцию. Попасть в более длинную серию вероятнее, чем в более короткую.

Приведем теперь простое доказательство того, что три испытания — действительно правильный ответ на вопрос задачи. Монеты «не помнят» исходов предыдущих бросаний, поэтому, где бы вы ни провели черту, среднее время ожидания до выпадения следующего «орла» должно быть равно 2 бросаниям. То же соображение применимо и к среднему времени ожидания, если мы «обратим» всю серию испытаний и будем считать времена ожидания не вперед, а назад. Следовательно, «средняя длина свободного пробега» между «орлами» равна 2х2, то есть 4, если мы будем считать и те бросания, при которых выпали сами «орлы». А так как мы условились понимать под временем ожидания длину серии испытаний, включающую выпадение следующего «орла», но не включающую выпадение предыдущего «орла», то средняя длина свободного пробега равна 4–1 = 3 бросаниям.

Еще более поразительна аналогичная задача с колесом рулетки. В колесе имеются 38 гнезд с номерами, среди которых есть 0 и 00. Следовательно, среднее время ожидания для любого числа, например для 7, равно 38 запускам колеса. Но если вы возьмете запись длинной серии номеров, выпавших при игре в рулетку, и, проводя наугад черту, начнете подсчитывать среднюю «длину свободного пробега» между двумя последовательными семерками, то она окажется равной не 38, а (2 х 38) — 1 = 75.

Три скорлупки

_{Зазывала. Подходите, не робейте. Если вы правильно угадаете, под какой скорлупкой горошина, я верну вам вдвое больше денег, чем вы поставите.}

_{Поиграв немного, мистер Марк решил, что его шансы на выигрыш не превышают 1: 3.}

_{Зазывала. Куда же вы? Хотите, сыграем по-свойски, как друзья? Вы выбираете одну скорлупку. Выбрали? Хорошо. Теперь я переворачиваю пустую скорлупку. Горошина должна быть под одной из двух остальных. Следовательно, ваши шансы на выигрыш возрастают вдвое.}

_{Мистер Марк легко попался на удочку. Он не понял, что от переворачивания пустой скорлупки его шансы на выигрыш не изменяются.}

_{Почему?}

После того как мистер Марк выбрал скорлупку, по крайней мере одна из двух остальных скорлупок должна быть пустой. Поскольку зазывала знает, под какой скорлупкой лежит горошина, он всегда может перевернуть пустую скорлупку. Следовательно, из того, что перевернута пустая скорлупка, мистер Марк не извлекает для себя никакой полезной информации, которая позволила бы пересмотреть оценку вероятности «попадания в цель» (того, что горошина находится под выбранной им скорлупкой).

В том, что это действительно так, вы легко убедитесь, взяв туза пик и два туза красных (бубновой и червовой) мастей. Перетасовав карты, разложите их в ряд на столе вверх рубашкой. Попросите кого-нибудь выбрать одну из карт. Какова вероятность, что выбранная карта будет тузом пик? Ясно, что эта вероятность равна 1/3.

Предположим теперь, что вы заглянули в две карты, на которые не пал выбор вашего ассистента, и перевернули один из красных тузов вверх картинкой. Вы можете рассуждать следующим образом (именно так и рассуждал зазывала). Вверх рубашкой лежат только две карты. Туз пик с равной вероятностью может быть любой из них. Следовательно, вероятность того, что выбран именно туз пик, возросла до 1/2. В действительности же эта вероятность и после того, как вы перевернули красный туз вверх картинкой, осталась равной 1/3. Дело в том, что, заглянув в две оставшиеся невыбранными карты, вы всегда можете повернуть вверх картинкой именно красный туз; это ваше действие не несет никакой информации, которая могла бы повлиять на оценку вероятности угадывания туза пик.

Вы можете удивить своих друзей, показав им следующую разновидность игры в «три скорлупки».

Вместо того чтобы самому заглядывать в две оставшиеся невыбранными карты и узнавать, какая из них красный туз, попросите вашего ассистента (того, кто выбрал одну из карт) перевернуть одну из двух остальных карт вверх картинкой. Если перевернутая карта окажется тузом пик, то расклад объявляется недействительным и игра повторяется до тех пор, пока перевернутая карта не окажется одним из красных тузов. Увеличивает ли подобная процедура вероятность угадать туз пик?

Как ни странно, эта процедура увеличивает вероятность угадать туз пик до 1/2. В этом мы можем убедиться, рассмотрев простой случай. Перенумеруем карты слева направо числами 1, 2 и 3. Предположим, что ваш ассистент выбрал карту 2 и перевернул вверх картинкой карту 3, которая оказалась красным тузом.