А ну-ка, догадайся! - [33]

В 4 случаях из 6 девочка выигрывает. Это подтверждает вывод, полученный с помощью первого рассуждения: девочка выигрывает с вероятностью 2/3.

Парадокс с лифтом

_{Тем, кому приходится часто пользоваться лифтом, вероятно, доводилось не раз обращать внимание на один странный теоретико-вероятностный парадокс. Предположим, что лифты в этом здании ходят независимо и среднее время ожидания на каждом этаже одинаково.}

_{Мистер Верх работает в конторе на одном из верхних этажей. Он очень удивлен.}

_{М-р Верх. Поразительно! Первым всегда приходит лифт снизу. Я замечал это неоднократно.}

_{М-р Верх. Может быть, лифты собирают в подвале, а готовую продукцию отправляют с крыши здания на вертолетах?}

_{Мисс Низ работает в конторе на одном из нижних этажей. Каждый день она в обеденный перерыв поднимается в ресторан, расположенный на верхнем этаже здания.}

_{Мисс Низ также очень удивлена.}

_{Мисс Низ. Ничего не понимаю! Стоит мне вызвать лифт, как он обычно приходит сверху!}

_{Мисс Низ. Должно быть, лифты доставляют вертолетами на крышу здания, а оттуда спускают на склад в подвале.}

_{Загадка с лифтами решается просто. По вызову мистера Верха сверху могут прийти только лифты, находящиеся в зачерненном участке шахты. Длина этого участка мала по сравнению с длиной остальной, более светлой части шахты. Следовательно, вызванный им лифт с большей вероятностью придет снизу. Так же решается и загадка, мучившая мисс Низ.}

Парадокс с лифтом впервые появился в книге математических задач на смекалку, выпущенной физиком Джорджем Гамовым и его другом Марвином Стерном. Объясняя парадокс с одним лифтом, Гамов и Стерн допустили небольшую ошибку. Они утверждали, что вероятности, «разумеется, останутся такими же», если лифтов будет два или больше.

Первым, кто понял, что это не так, был известный специалист по вычислительной математике из Стэнфордского университета Дональд Кнут. В статье «Задача Гамова — Стерна о лифте»[22] Кнут получил несколько неожиданный результат: с увеличением числа лифтов вероятность того, что на любом этаже (кроме первого и последнего) первым придет лифт снизу, стремится к 1/2, и вероятность того, что первым придет лифт сверху, также стремится к 1/2.

В действительности эта ситуация еще более парадоксальна, чем в первоначальном варианте задачи.

Результат Кнута означает, что если вы находитесь на одном из последних этажей и стоите перед дверями одного из лифтов, то с высокой вероятностью именно тот лифт, который вы ждете, придет снизу, рели же вы готовы сесть в любой лифт, который остановится на вашем этаже, то вероятность того, что первым придет лифт снизу, будет иной. При неограниченном увеличении числа лифтов эта вероятность стремится к 1/2. То же верно и относительно лифтов, приходящих по вызову на нижние этажи сверху.

Разумеется, мы предполагаем, что лифты ходят независимо, с постоянной скоростью и что среднее время ожидания одинаково для всех этажей. Если число лифтов невелико, то вероятности изменяются незначительно. Но если число лифтов достигает 20 или более, то вероятности для всех этажей, кроме первого и последнего, мало отличаются от 1/2.

Ревнивые девушки

_{У одного парня были две знакомые девушки, и он никак не мог выбрать, с кем из них отправиться на свидание. Одна из девушек жила к востоку от того места, где жил он сам, другая — к западу.}

_{Ежедневно парень в случайное время спускался на станцию метро и садился в первый попавшийся поезд.}

_{Поезда в восточном и западном направлениях шли с интервалом в 10 мин.}

_{Девушка, жившая к востоку от того места, где обитал наш сердцеед, сказала ему как-то раз на прощание.}

_{Вести. Я так счастлива, милый, что ты навещаешь меня в среднем 9 дней из 10.}

_{На следующий вечер девушка, жившая к западу от дома нашего героя, сердито упрекнула его.}

_{Вести. Почему ты являешься ко мне в среднем только раз в десять дней?}

_{Необъяснимое на первый взгляд предпочтение парня к поездам восточного направления напоминает парадокс с лифтами. Хотя поезда восточного и западного направлений идут с интервалами в 10 мин, расписание составлено так, что поезд западного направления прибывает и отправляется на 1 мин позже, чем ближайший поезд восточного направления.}

_{Чтобы попасть на поезд, идущий на запад, парень должен ел на станции в течение одного из минутных интервалов, отмеченных на циферблате темными полосами.}

_{Чтобы попасть на поезд, идущий на восток, он должен прибыть на станцию в течение любого из девятиминутных интервалов, заключенных между темными полосами.}

_{Вероятность поехать на запад составляет 1/10, вероятность отправиться на восток составляет 9/10.}

В этом парадоксе время ожидания между поездами задано расписанием. В последовательности случайных событий «среднее время ожидания» между событиями мы получим, просуммировав времена ожидания и разделив полученную сумму на n. Например, среднее время ожидания для поезда, идущего на восток, в нашем рассказе составляет 4^1/2 мин, а среднее время ожидания для поезда, идущего на запад, — всего 1/2 мин.

С временами ожидания связаны и многие другие парадоксы. Возможно, вам понравится следующий.

Если вы бросаете монету, то среднее время ожидания «орла» (или «решки») равно 2 бросаниям. Это означает, что, взяв перечень исходов длинной серии бросаний монеты и подсчитав времена ожидания, отделяющие выпадение одного «орла» от выпадения следующего «орла», вы получите среднее «расстояние» между «орлами», равное 2 бросаниям (если серия начинается не с «орла», то длина серии «решек» до выпадения первого «орла» в расчет не принимается).