Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - [196]

₁ · |q₁⟩ + a₂ · |q₂⟩ + a₃ · |q₃⟩ +…, где внутри кетов сидят какие-то точки, то отвечающая ей машина-функция задается простым правилом. Какое значение имеет эта функция в точке q₁? – значение a₁; в точке q₂? – значение a₂ и т. д.[244] Волновые функции можно, конечно, обозначать любыми буквами, но чаще всего используется ψ или Ψ (пси). Запись ψ(q), где под q понимаются какие-либо величины, показывает, входные данные какого типа она умеет обрабатывать (выражаясь чуть формальнее: от каких переменных она зависит). Волновую функцию иногда называют также пси-функцией.

Объекты другого типа, по формальным признакам тоже похожие на наши абстрактные | ⟩, имеют более геометрический характер: это векторы, т. е. стрелки, проведенные из выбранной точки в пространстве. Если пространство двумерно или трехмерно, то векторы вполне наглядны; для пространств более высокой размерности предлагается думать, что это «как в трехмерном пространстве, только не в трехмерном, а в многомерном» (что, надо признать, само по себе несколько абстрактно). Каждый вектор можно умножить на любое число; в результате получится растянутый вектор, если число больше единицы, сжатый вектор, если число меньше единицы, но положительно, и вектор, смотрящий в противоположную сторону, если число отрицательно. Складываются же векторы по правилу сложения перемещений: чтобы найти сумму двух векторов

рисуем вектор 

а из его конца проводим

и затем рисуем стрелку, соединяющую начальную точку, откуда растет

с полученной точкой. Можно действовать и наоборот, сначала нарисовать

проведя стрелку из выбранной точки, а из ее конца провести

получится то же самое, потому что не имеет значения, по каким сторонам параллелограмма добираться из одной вершины в противоположную. При этом выполняется несколько «очевидных», но важных правил типа

Написанное равенство означает смещение на вектор

за которым следует в точности противоположное ему смещение. Кстати, нуль в правой части надо было бы записывать как

потому что это нулевой вектор. Он выражает отсутствие всякого смещения и, строго говоря, является единственным из всех векторов, который не представляется наглядно стрелкой (у него вообще нет направления). Этот нулевой вектор ведет себя как нуль при сложении с другими векторами:

(то же самое имеет место и для нулевой волны при сложении с любой другой волной).

И волны, и векторы – примеры, показывающие, что объекты некоторого класса можно складывать и умножать на числа таким образом, что получаются другие объекты того же класса и при этом выполнены «очевидные» правила, включая правило раскрытия скобок. Таковы же и волновые функции[245].

Мне не избежать некоторого дублирования терминов. Можно сказать «система описывается таким-то состоянием», а можно – «система описывается такой-то волновой функцией». «Волновая функция» и «состояние» – это синонимы, но в некоторых контекстах мне проще говорить о состояниях, а в некоторых других – о волновой функции. Возможно, это наследие того, по каким книгам я учился, но, так или иначе, я буду употреблять оба названия. Нестандартное же название «высказывания» было нужно мне только для того, чтобы подчеркнуть их абстрактный характер, и так их никто не называет.

Волновыми функциями и управляет уравнение Шрёдингера, к которому мы движемся. Но прежде чем мы увидим, как оно это делает, нелишне будет узнать, чем же волновые функции оказались прекрасны: благодаря тому, что выглядит как их избыточность, они «снимают» вражду между непримиримыми величинами.

*****

Урок демократии. Поначалу трудно отделаться от ощущения, что среди «высказываний» (правильно: состояний) есть более фундаментальные, имеющие вид |q⟩ для каких-то понятных «вещей» q, и более искусственные, получаемые всеми этими сложениями с умножениями. Другими словами, может показаться, что если q и r – «вещи», то |q⟩ и |r⟩ – что-то вроде слов, тогда как a · |q⟩ + b · |r⟩ – фразы, из них составленные; и отдельные слова в некотором роде более «настоящие», чем фразы. Поучительный пример, показывающий, как в действительности обстоят дела в этом «языке», – система, где «вещей» всего две: это два значения компоненты спина электрона. Как мы помним со времени предыдущей прогулки, компоненту спина можно измерять только вдоль какого-то одного направления, и для электрона она может оказаться равной только одному из двух значений, 1/2 ħ и –1/2 ħ. Направление обычно выбирают вертикальным (что само по себе никакого значения не имеет, но важна определенность) и обозначают буквой z, как на рис. 11.2 слева. Два возможных значения компоненты спина противоположны друг другу, и с учетом того, как мы выбрали направление, удобными оказываются сокращенные (и наконец-то общепринятые) обозначения: стрелка вверх ↑ вместо 1/2 ħ и стрелка вниз ↓ вместо –1/2 ħ. Обычно мы не заменяем числа специальными значками типа стрелки или смайлика, потому что в большинстве случаев это неудобно; но ничто и не запрещает нам так делать, а в данном случае обозначения оказываются очень подходящими к ситуации. Каждой из двух «вещей» ↑ и ↓ (двум возможностям для компоненты спина вдоль