Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - [196]

Шрифт
Интервал

>1 · |q>1⟩ + a>2 · |q>2⟩ + a>3 · |q>3⟩ +…, где внутри кетов сидят какие-то точки, то отвечающая ей машина-функция задается простым правилом. Какое значение имеет эта функция в точке q>1? – значение a>1; в точке q>2? – значение a>2 и т. д.[244] Волновые функции можно, конечно, обозначать любыми буквами, но чаще всего используется ψ или Ψ (пси). Запись ψ(q), где под q понимаются какие-либо величины, показывает, входные данные какого типа она умеет обрабатывать (выражаясь чуть формальнее: от каких переменных она зависит). Волновую функцию иногда называют также пси-функцией.

Объекты другого типа, по формальным признакам тоже похожие на наши абстрактные | ⟩, имеют более геометрический характер: это векторы, т. е. стрелки, проведенные из выбранной точки в пространстве. Если пространство двумерно или трехмерно, то векторы вполне наглядны; для пространств более высокой размерности предлагается думать, что это «как в трехмерном пространстве, только не в трехмерном, а в многомерном» (что, надо признать, само по себе несколько абстрактно). Каждый вектор можно умножить на любое число; в результате получится растянутый вектор, если число больше единицы, сжатый вектор, если число меньше единицы, но положительно, и вектор, смотрящий в противоположную сторону, если число отрицательно. Складываются же векторы по правилу сложения перемещений: чтобы найти сумму двух векторов

рисуем вектор 
а из его конца проводим
и затем рисуем стрелку, соединяющую начальную точку, откуда растет
с полученной точкой. Можно действовать и наоборот, сначала нарисовать
проведя стрелку из выбранной точки, а из ее конца провести
получится то же самое, потому что не имеет значения, по каким сторонам параллелограмма добираться из одной вершины в противоположную. При этом выполняется несколько «очевидных», но важных правил типа
Написанное равенство означает смещение на вектор
за которым следует в точности противоположное ему смещение. Кстати, нуль в правой части надо было бы записывать как
потому что это нулевой вектор. Он выражает отсутствие всякого смещения и, строго говоря, является единственным из всех векторов, который не представляется наглядно стрелкой (у него вообще нет направления). Этот нулевой вектор ведет себя как нуль при сложении с другими векторами:
(то же самое имеет место и для нулевой волны при сложении с любой другой волной).

И волны, и векторы – примеры, показывающие, что объекты некоторого класса можно складывать и умножать на числа таким образом, что получаются другие объекты того же класса и при этом выполнены «очевидные» правила, включая правило раскрытия скобок. Таковы же и волновые функции[245].

Мне не избежать некоторого дублирования терминов. Можно сказать «система описывается таким-то состоянием», а можно – «система описывается такой-то волновой функцией». «Волновая функция» и «состояние» – это синонимы, но в некоторых контекстах мне проще говорить о состояниях, а в некоторых других – о волновой функции. Возможно, это наследие того, по каким книгам я учился, но, так или иначе, я буду употреблять оба названия. Нестандартное же название «высказывания» было нужно мне только для того, чтобы подчеркнуть их абстрактный характер, и так их никто не называет.

Волновыми функциями и управляет уравнение Шрёдингера, к которому мы движемся. Но прежде чем мы увидим, как оно это делает, нелишне будет узнать, чем же волновые функции оказались прекрасны: благодаря тому, что выглядит как их избыточность, они «снимают» вражду между непримиримыми величинами.

*****

Урок демократии. Поначалу трудно отделаться от ощущения, что среди «высказываний» (правильно: состояний) есть более фундаментальные, имеющие вид |q⟩ для каких-то понятных «вещей» q, и более искусственные, получаемые всеми этими сложениями с умножениями. Другими словами, может показаться, что если q и r – «вещи», то |q⟩ и |r⟩ – что-то вроде слов, тогда как a · |q⟩ + b · |r⟩ – фразы, из них составленные; и отдельные слова в некотором роде более «настоящие», чем фразы. Поучительный пример, показывающий, как в действительности обстоят дела в этом «языке», – система, где «вещей» всего две: это два значения компоненты спина электрона. Как мы помним со времени предыдущей прогулки, компоненту спина можно измерять только вдоль какого-то одного направления, и для электрона она может оказаться равной только одному из двух значений, 1/2 ħ и –1/2 ħ. Направление обычно выбирают вертикальным (что само по себе никакого значения не имеет, но важна определенность) и обозначают буквой z, как на рис. 11.2 слева. Два возможных значения компоненты спина противоположны друг другу, и с учетом того, как мы выбрали направление, удобными оказываются сокращенные (и наконец-то общепринятые) обозначения: стрелка вверх ↑ вместо 1/2 ħ и стрелка вниз ↓ вместо –1/2 ħ. Обычно мы не заменяем числа специальными значками типа стрелки или смайлика, потому что в большинстве случаев это неудобно; но ничто и не запрещает нам так делать, а в данном случае обозначения оказываются очень подходящими к ситуации. Каждой из двух «вещей» ↑ и ↓ (двум возможностям для компоненты спина вдоль


Рекомендуем почитать
Лаять не на то дерево

Многие традиционные советы о том, как преуспеть в жизни, логичны, обоснованны… и откровенно ошибочны. В своей книге автор собрал невероятные научные факты, объясняющие, от чего на самом деле зависит успех и, что самое главное, как нам с вами его достичь. Для широкого круга читателей.


Клеопатра

Последняя египетская царица Клеопатра считается одной из самых прекрасных, порочных и загадочных женщин в мировой истории. Её противоречивый образ, документальные свидетельства о котором скудны и недостоверны, многие века будоражит умы учёных и людей творчества. Коварная обольстительница и интриганка, с лёгкостью соблазнявшая римских императоров и военачальников, безумная мегера, ради развлечения обрекавшая рабов на пытки и смерть, мудрая и справедливая правительница, заботившаяся о благе своих подданных, благородная гордячка, которая предпочла смерть позору, — кем же она была на самом деле? Специалист по истории мировой культуры Люси Хьюз-Хэллетт предпринимает глубокое историческое и культурологическое исследование вопроса, не только раскрывая подлинный облик знаменитой египетской царицы, но и наглядно демонстрируя, как её образ менялся в сознании человечества с течением времени, изменением представлений о женской красоте и появлением новых видов искусства.


Усоногий рак Чарльза Дарвина и паук Дэвида Боуи. Как научные названия воспевают героев, авантюристов и негодяев

В своей завораживающей, увлекательно написанной книге Стивен Хёрд приводит удивительные, весьма поучительные, а подчас и скандальные истории, лежащие в основе таксономической номенклатуры. С того самого момента, когда в XVIII в. была принята биноминальная система научных названий Карла Линнея, ученые часто присваивали видам животных и растений имена тех, кого хотели прославить или опорочить. Кто-то из ученых решал свои идеологические разногласия, обмениваясь нелицеприятными названиями, а кто-то дарил цветам или прекрасным медузам имена своих тайных возлюбленных.


Ринг «быков» и «медведей»

«Быки» и «медведи» — так называются спекулянты, играющие соответственно на повышении и понижении курса ценных бумаг. Фондовая биржа и является тем местом, где скрещивают копья эти спекулянты-профессионалы. Анализируя механизм биржевой спекуляции, закономерности курсов ценных бумаг, кандидат экономических наук В. П. Федоров показывает социально-экономическую роль биржи, обнажает паразитизм биржевиков, царящую там обстановку узаконенного грабежа и прямой преступности. Работа написана популярно и доступна самому широкому кругу читателей.


Блики на портрете

Расшифровка генетического кода, зашита от инфекционных болезней и патент на совершенную фиксацию азота, проникновение в тайну злокачественного роста и извлечение полезных ископаемых из морских вод — неисчислимы сферы познания и практики, где изучение микроорганизма помогает добиваться невиданных и неслыханных результатов… О достижениях микробиологии, о завтрашнем дне этой науки рассказывает академик АМН СССР О. Бароян.


Штурм неба

Воздушную оболочку Земли — атмосферу — образно называют воздушным океаном. Велик этот океан. Еще не так давно люди, живя на его дне, почти ничего не знали о строении атмосферы, о ее различных слоях, о температуре на разных высотах и т. д. Только в XX веке человек начал подробно изучать атмосферу Земли, раскрывать ее тайны. Много ярких страниц истории науки посвящено завоеванию воздушного океана. Много способов изыскали люди для того, чтобы изучить атмосферу нашей планеты. Об основных достижениях в этой области и рассказывается читателю в нашей небольшой книге.