Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - [195]

Шрифт
Интервал

потерять половину своих спутников на этой прогулке, вопреки расхожей мудрости, что их количество уменьшается вдвое от каждой формулы.

Главное правило – раскрытие скобок

Формула, правда, широко известна. Умножая сумму на число, как в a · (B + C), можно сначала умножить каждое слагаемое, а потом сложить: a · B + a · C. Это одно и то же: a · (B + C) = a · B + a · C – вот и вся формула. Если кто-то вспомнил про материал примерно пятого класса под названием «раскрытие скобок», то это оно и есть (чуть более торжественно – распределительный закон). «Грамматика», регулирующая правила обращения с «высказываниями», именно такова: всегда должно соблюдаться правило раскрытия скобок a · (|r⟩ + |s⟩) = a · |r⟩ + a · |s⟩. Примитивная, ничего не скажешь, грамматика[241]. Тот факт, что она лежит в основе самого точного на сегодняшний день описания природы, кажется мне по-настоящему удивительным.

*****

Как же о них думать. И все же. Абстрактные конструкции, какими являются эти «высказывания», бывает полезно хоть как-то себе представлять. Есть два типа более осязаемых явлений, на которые они похожи по своим определяющим признакам – каковые только в том и заключаются, что к любым выбранным явлениям можно применить умножение на числа и сложение, в результате чего получаются другие явления того же типа.

Первый тип похожих явлений – волны. Их тоже можно складывать и умножать на числа таким способом, что в результате снова получаются волны. Умножение волны на 2,5 означает, что амплитуда колебаний в каждой точке в 2,5 раза больше – можно сказать, волна «выше» (и одновременно «глубже»). Это показано на рис. 11.1 слева. Идеальный усилитель сигнала, кстати, должен выполнять в точности умножение, не внося в волну больше никаких изменений (например, не сглаживая вершину усиленной – «умноженной» – волны). Умножение на что-нибудь вроде 0,1 дает волну в десять раз «ниже». Несложно разобраться и с умножением волн на отрицательные числа. Умножить на –1 означает инвертировать волну, т. е. перевернуть, как показано на рис. 11.1 справа. Умножение на –42 состоит в том, что волну надо инвертировать и умножить на 42. А после умножения волны на 0 получится волна с нулевой амплитудой колебаний во всех точках, т. е. в обычных терминах – отсутствие волны; удобно тем не менее считать отсутствие волны нулевой волной. Умножение (число) · (волна) отличается от умножения числа на число, потому что включает в себя два объекта разной природы: волны все-таки не числа. И волны в этом умножении «главнее», потому что в результате умножения получается именно волна: (число) · (волна) = (другая волна). В точности это мы видели и для «высказываний».


Рис. 11.1. Умножение волны на число дает другую волну. Слева: более светлый профиль – результат умножения более темного на 2,5. Справа: умножение на –1 инвертирует волну


Сложение волн – это просто наложение одной волны на другую. Наглядная иллюстрация – сложение волн на воде: игрушечный кораблик опускается и поднимается в зависимости от того, как именно суммируются колебания в данной точке[242]. В качестве другой иллюстрации: мы практически непрерывно ощущаем сложение волн ушами, потому что вокруг нас, как правило, много источников разнообразных звуковых волн (и еще больше электромагнитных). Кстати, если какую-то волну сначала умножить на –1, а потом сложить с исходной, то получится нулевая волна. Этот принцип используется в системах активного шумоподавления: шум инвертируют, т. е. умножают на –1, а затем складывают с волной, несущей смесь сигнала и шума; шум в результате сокращается по правилу A + (–1) · A = 0, но A здесь – не число, а волна.

Встречаем волновую функцию!

Из-за того, что таковы же правила обращения с нашими «высказываниями» |*⟩ (где вместо звездочки записано что-нибудь в зависимости от ситуации – значение координаты, количества движения, энергии, компоненты спина, …), эти |*⟩ называют еще волновыми функциями или, обобщенно, волновой функцией. Само по себе слово «функция» нам уже встречалось. Оно означает машину по превращению входных данных (например, координат точки, а может быть, цвета заката) в выходные – в некоторые числа. (Пример функции: на входе угол, на выходе его синус; на входе человек, на выходе дата его рождения.) Каждое наше «высказывание» кодирует в себе информацию о такой машине. Если временно снова прибегнуть к помощи цветовой палитры, то «высказывание» 5 · |красный⟩ + 3 · |желтый⟩ – 1 · |фиолетовый⟩ кодирует функцию, которая превращает «красный» в число 5, «желтый» в число 3 и «фиолетовый» в число –1 (числа могут быть совершенно любыми). Можно сказать, что запись в виде суммы «сразу» показывает все варианты входных данных, которые данная функция умеет обрабатывать, причем каждый вариант – вместе с тем значением, которое функция из него производит (сразу ведь видно, что фиолетовый отвечает минус единице)[243]. А что насчет оранжевого, экрю и маренго? Они не упомянуты в сумме из трех слагаемых, поэтому их наша машина-функция превращает в нуль. Тот же пример, но лишенный красок, выглядит так: если перед вами сумма


Рекомендуем почитать
Вирусы и эпидемии в истории мира. Прошлое, настоящее и будущее

С самого возникновения цивилизации человечество сосуществует с невидимыми и смертоносными врагами – вирусами. Оспа унесла больше жизней, чем все техногенные катастрофы и кровопролитнейшие войны XX века; желтая лихорадка не позволила Наполеону создать колониальную империю и едва не помешала строительству Панамского канала. Ученый-вирусолог, профессор Майкл Олдстоун, основываясь на свидетельствах современников ужасных эпидемий и ученых, «охотников за микробами», показывает, насколько глубоко влияние вирусов на жизнь человечества.


Неотрицаемое. Наш мир и теория эволюции

Билл Най — инженер, телеведущий популярных научных передач («Билл Най — научный парень») и директор Планетарного общества, занимающегося исследованиями в области астрономии и освоения космоса, а также популяризации науки. В своей книги об эволюции он увлекательно, с юмором, рассказывает о происхождении жизни, появлении новых видов, о дарвиновской теории и свидетельствах ее достоверности, которые мы можем найти в окружающей нас жизни, а также о последних исследованиях в медицине, биологии и генной инженерии.


Лаять не на то дерево

Многие традиционные советы о том, как преуспеть в жизни, логичны, обоснованны… и откровенно ошибочны. В своей книге автор собрал невероятные научные факты, объясняющие, от чего на самом деле зависит успех и, что самое главное, как нам с вами его достичь. Для широкого круга читателей.


Клеопатра

Последняя египетская царица Клеопатра считается одной из самых прекрасных, порочных и загадочных женщин в мировой истории. Её противоречивый образ, документальные свидетельства о котором скудны и недостоверны, многие века будоражит умы учёных и людей творчества. Коварная обольстительница и интриганка, с лёгкостью соблазнявшая римских императоров и военачальников, безумная мегера, ради развлечения обрекавшая рабов на пытки и смерть, мудрая и справедливая правительница, заботившаяся о благе своих подданных, благородная гордячка, которая предпочла смерть позору, — кем же она была на самом деле? Специалист по истории мировой культуры Люси Хьюз-Хэллетт предпринимает глубокое историческое и культурологическое исследование вопроса, не только раскрывая подлинный облик знаменитой египетской царицы, но и наглядно демонстрируя, как её образ менялся в сознании человечества с течением времени, изменением представлений о женской красоте и появлением новых видов искусства.


Ринг «быков» и «медведей»

«Быки» и «медведи» — так называются спекулянты, играющие соответственно на повышении и понижении курса ценных бумаг. Фондовая биржа и является тем местом, где скрещивают копья эти спекулянты-профессионалы. Анализируя механизм биржевой спекуляции, закономерности курсов ценных бумаг, кандидат экономических наук В. П. Федоров показывает социально-экономическую роль биржи, обнажает паразитизм биржевиков, царящую там обстановку узаконенного грабежа и прямой преступности. Работа написана популярно и доступна самому широкому кругу читателей.


Штурм неба

Воздушную оболочку Земли — атмосферу — образно называют воздушным океаном. Велик этот океан. Еще не так давно люди, живя на его дне, почти ничего не знали о строении атмосферы, о ее различных слоях, о температуре на разных высотах и т. д. Только в XX веке человек начал подробно изучать атмосферу Земли, раскрывать ее тайны. Много ярких страниц истории науки посвящено завоеванию воздушного океана. Много способов изыскали люди для того, чтобы изучить атмосферу нашей планеты. Об основных достижениях в этой области и рассказывается читателю в нашей небольшой книге.