Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - [195]
Главное правило – раскрытие скобок
Формула, правда, широко известна. Умножая сумму на число, как в a · (B + C), можно сначала умножить каждое слагаемое, а потом сложить: a · B + a · C. Это одно и то же: a · (B + C) = a · B + a · C – вот и вся формула. Если кто-то вспомнил про материал примерно пятого класса под названием «раскрытие скобок», то это оно и есть (чуть более торжественно – распределительный закон). «Грамматика», регулирующая правила обращения с «высказываниями», именно такова: всегда должно соблюдаться правило раскрытия скобок a · (|r⟩ + |s⟩) = a · |r⟩ + a · |s⟩. Примитивная, ничего не скажешь, грамматика[241]. Тот факт, что она лежит в основе самого точного на сегодняшний день описания природы, кажется мне по-настоящему удивительным.
Как же о них думать. И все же. Абстрактные конструкции, какими являются эти «высказывания», бывает полезно хоть как-то себе представлять. Есть два типа более осязаемых явлений, на которые они похожи по своим определяющим признакам – каковые только в том и заключаются, что к любым выбранным явлениям можно применить умножение на числа и сложение, в результате чего получаются другие явления того же типа.
Первый тип похожих явлений – волны. Их тоже можно складывать и умножать на числа таким способом, что в результате снова получаются волны. Умножение волны на 2,5 означает, что амплитуда колебаний в каждой точке в 2,5 раза больше – можно сказать, волна «выше» (и одновременно «глубже»). Это показано на рис. 11.1 слева. Идеальный усилитель сигнала, кстати, должен выполнять в точности умножение, не внося в волну больше никаких изменений (например, не сглаживая вершину усиленной – «умноженной» – волны). Умножение на что-нибудь вроде 0,1 дает волну в десять раз «ниже». Несложно разобраться и с умножением волн на отрицательные числа. Умножить на –1 означает инвертировать волну, т. е. перевернуть, как показано на рис. 11.1 справа. Умножение на –42 состоит в том, что волну надо инвертировать и умножить на 42. А после умножения волны на 0 получится волна с нулевой амплитудой колебаний во всех точках, т. е. в обычных терминах – отсутствие волны; удобно тем не менее считать отсутствие волны нулевой волной. Умножение (число) · (волна) отличается от умножения числа на число, потому что включает в себя два объекта разной природы: волны все-таки не числа. И волны в этом умножении «главнее», потому что в результате умножения получается именно волна: (число) · (волна) = (другая волна). В точности это мы видели и для «высказываний».
Рис. 11.1. Умножение волны на число дает другую волну. Слева: более светлый профиль – результат умножения более темного на 2,5. Справа: умножение на –1 инвертирует волну
Сложение волн – это просто наложение одной волны на другую. Наглядная иллюстрация – сложение волн на воде: игрушечный кораблик опускается и поднимается в зависимости от того, как именно суммируются колебания в данной точке[242]. В качестве другой иллюстрации: мы практически непрерывно ощущаем сложение волн ушами, потому что вокруг нас, как правило, много источников разнообразных звуковых волн (и еще больше электромагнитных). Кстати, если какую-то волну сначала умножить на –1, а потом сложить с исходной, то получится нулевая волна. Этот принцип используется в системах активного шумоподавления: шум инвертируют, т. е. умножают на –1, а затем складывают с волной, несущей смесь сигнала и шума; шум в результате сокращается по правилу A + (–1) · A = 0, но A здесь – не число, а волна.
Встречаем волновую функцию!
Из-за того, что таковы же правила обращения с нашими «высказываниями» |*⟩ (где вместо звездочки записано что-нибудь в зависимости от ситуации – значение координаты, количества движения, энергии, компоненты спина, …), эти |*⟩ называют еще волновыми функциями или, обобщенно, волновой функцией. Само по себе слово «функция» нам уже встречалось. Оно означает машину по превращению входных данных (например, координат точки, а может быть, цвета заката) в выходные – в некоторые числа. (Пример функции: на входе угол, на выходе его синус; на входе человек, на выходе дата его рождения.) Каждое наше «высказывание» кодирует в себе информацию о такой машине. Если временно снова прибегнуть к помощи цветовой палитры, то «высказывание» 5 · |красный⟩ + 3 · |желтый⟩ – 1 · |фиолетовый⟩ кодирует функцию, которая превращает «красный» в число 5, «желтый» в число 3 и «фиолетовый» в число –1 (числа могут быть совершенно любыми). Можно сказать, что запись в виде суммы «сразу» показывает все варианты входных данных, которые данная функция умеет обрабатывать, причем каждый вариант – вместе с тем значением, которое функция из него производит (сразу ведь видно, что фиолетовый отвечает минус единице)[243]. А что насчет оранжевого, экрю и маренго? Они не упомянуты в сумме из трех слагаемых, поэтому их наша машина-функция превращает в нуль. Тот же пример, но лишенный красок, выглядит так: если перед вами сумма
