Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [62]

Шрифт
Интервал

Этот факт весьма удивителен, так как множество Кантора не имеет никакой длины. Действительно, сумма длин всех отрезков, которые мы удаляем, равна:



Таким образом, длина множества Кантора есть результат вычитания из 1 суммарной длины всех этих отрезков, то есть 1, а следовательно, длина множества Кантора равна 0.

Множество Кантора – действительно очень необычный объект. Оно содержит невычислимое количество точек – суммарная длина которых равна нулю! – которые находятся на множестве отрезков прямой! Кроме того, множество Кантора считают первым фракталом. Но этой теме придется подождать другой книги.

ЕЩЕ НЕМНОГО О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЧИСЕЛ

Между прочим, число 1 можно записать в троичном представлении как 0,2222… а в десятичном – как 0,999999… Когда я пишу, что 1 = 0,999999… многие удивленно поднимают бровь (или даже обе). Они пытаются объяснить мне, что это неверно, что 1 хоть совсем ненамного, но все же больше, чем 0,999999…

Чаще всего бывает почти невозможно убедить кого-нибудь в моей правоте. Но это не значит, что я не попытаюсь это сделать.

Попробуйте вычесть 0,9999… из 1. Что у вас получается? Если ваш результат хоть на сколько-нибудь отличается от нуля, значит, вы совершаете логическую ошибку.

Или же попробуем сделать вот что. Пусть a = 0,9999999… В таком случае 10a = 9,999999… Вычтя одно число из другого, получим 10 a – a = 9,999999… – 0,999999… А это превосходным образом дает 9a = 9, то есть a = 1.

Если уж и это вас не убедило, мне очень жаль.

Заключение

У книги о бесконечности не может быть конца; бесконечность – это нескончаемая история. Поэтому я не стану писать заключения, а дам вам одну очень красивую задачу, и вы сможете обдумывать ее столько, сколько захотите.

Взгляните на следующее равенство:


1/9801 = 0,00010203040506070809101112131415161718192021

2223242526272829303132333435363738394041424344

4546474849505152535455565758596061626364656667

6869707172737475767778798081828384858687888990

919293949596979900010203…979900010203…


Видите, что тут происходит?

Не видите?

Ну хорошо.

Вот вам то же самое, но в лучшем разрешении:


1/9801 =0,00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96

97 99 00 01 02 03…97 99 00 01 02 03 04 05 06… ad infinitum[61].


Мы получили все двузначные числа, расположенные в правильном порядке (!) и повторяющиеся до бесконечности, кроме числа 98.

Головоломка

Почему отсутствует число 98?

Действительно ли отсутствует число 98?

Что получится, если рассмотреть 1/1089?

Что получится, если рассмотреть 1/998 001?

А завершу я текст этой книги своим любимым словом:

ПОЧЕМУ?

Выражение благодарности

Прежде всего я хотел бы поблагодарить Итана Ильфельда за веру в меня и в мои книги.

Я хотел бы воздать благодарность моей верной переводчице Линде Иехиэль.

Я хотел бы выразить особую признательность Алену Деккеру, никогда не перестававшему спорить со мной, за огромную помощь и терпение.

Я чрезвычайно благодарен Тому Бенаму, специалисту по теории множеств, за мудрое редактирование моей книги и множество блестящих идей.

Кроме того, я хотел бы поблагодарить ответственного за издание этой книги, Слава Тодорова, и выразить свою признательность всем сотрудникам издательства Watkins, работавшим над ней.

Наконец, но ни в коем случае не в последнюю очередь, я хотел бы поблагодарить своих агентов – Вики Сатлоу и Зива Льюиса.

Дополнительная литература

Для тех, кто хотел бы изучить этот предмет поглубже, ниже приводится очень краткий список некоторых из тех книг, которые, по моему мнению, стоит прочитать.

Marcus du Sautoy. The Music of the Primes.

George Gamow. One Two Three… Infinity.

Martin Gardner. The Colossal Book of Short Puzzles and Problems.

Raymond Smullyan. Satan, Cantor and Infinity (Смаллиан Р. Сатана, Кантор и бесконечность, а также другие головоломки / Пер. с англ. П. И. Быстрова. М.: Лори, 2014).

Douglas Hofstadter. Gödel, Escher, Bach (Хофштадтер Д. Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда / Пер. с англ. М. А. Эскиной. Самара: Издательский дом «Бахрах-М», 2001).

G. H. Hardy. A Mathematician’s Apology (Харди Г. Г. Апология математика / Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000).

Об авторе

Хаим Шапира родился в 1962 г. в Литве. В 1977 г. он эмигрировал в Израиль, где получил первую докторскую степень по математической генетике за диссертацию по теории игр и вторую – за исследование математических и философских аспектов изучения бесконечности. Сейчас преподает математику, психологию, философию и литературоведение. Его перу принадлежат книги, ставшие бестселлерами. В своих сочинениях он пытается не склонить читателя к своей точке зрения, а побудить его мыслить самостоятельно. Хаим Шапира стал одним из наиболее популярных и востребованных лекторов в Израиле и говорит в своих выступлениях о творчестве и стратегическом мышлении, об экзистенциальной философии и философии в детской литературе, о счастье и оптимизме, о бессмыслице и безумии, о воображении и смысле смысла, а также о любви и дружбе. Кроме того, он превосходный пианист и заядлый коллекционер всего прекрасного.

Еще от автора Хаим Шапира
Счастье и другие незначительные вещи абсолютной важности

Эта книга – не из серии «Помоги себе сам». В ней Хаим Шапира – дважды доктор наук, математик, философ, психолог, литератор – пытается найти ответ на волнующий каждого вопрос – что такое счастье? И что надо делать (или чего не делать), чтобы стать счастливым человеком. К поискам привлечены такие авторитеты, как Платон, Декарт, Шекспир, Чехов, Вуди Аллен… Маленький принц, Винни-Пух, Алиса из Страны чудес и многие другие. Читатель узнает также, почему в нашей жизни так важны числа, что считают высшим счастьем женщины и почему их точка зрения так удивляет мужчин, всегда ли ученье – свет, что такое гнев и какова цена истинной дружбы.Хаим Шапира написал очень смешную книгу об очень серьезных вещах.

Гладиаторы, пираты и игры на доверии. Как нами правят теория игр, стратегия и вероятности

Избегать риска любой ценой – это очень рискованный путь, считает видный израильский математик и философ, автор бестселлеров Хаим Шапира. Его лаконичная, написанная с юмором книга полна поучительных парадоксов и примеров, которые объединяет главная тема: рассказ о том, как теория игр влияет на нашу жизнь, как ее положения можно использовать в ведении переговоров, выработке навыков стратегического мышления, в справедливом разделении бремени и в решении множества повседневных задач. «Эта книга касается теории игр и слегка затрагивает ряд важных идей в статистике и теории вероятностей.

Рекомендуем почитать
Израиль и США: Основные этапы становления стратегического партнерства 1948–2014

Монография посвящена непростой истории становления американо-израильского сотрудничества с момента возникновения Государства Израиль в 1948 г. до 2014 г.Автор рассматривает, как в годы холодной войны израильские лидеры боролись за признание Израиля партнером США, активизируя свою роль проводника американских интересов на Ближнем Востоке. В книге показано, как в конце 1990-х годов развитие израильско-американских отношений приобрело характер стратегического партнерства и Израиль стал наиболее привилегированным внеблоковым союзником США.

В долинах золотого песка

Эта книга рассказывает о золоте — древнем и современном, об отношении к нему людей различных формаций. Она знакомит с тем, как образовалось золото, каковы его свойства и где оно встречается в природе, какие машины на наших приисках пришли на смену бутаре и промывочному лотку. В заключение говорится об использовании золота в технике сегодняшнего и завтрашнего дня.

От динозавра до компота. Ученые отвечают на 100 (и еще 8) вопросов обо всем

Детские вопросы обо всем на свете – один из главных двигателей научно-популярной литературы. Карманный Ученый «Розового жирафа» много лет отвечал детям в своем подкасте на сайте издательства, а сейчас этот разговор продолжается в Университете детей и Научных лабораториях Политехнического музея. «Розовый жираф» и Политех попросили лучших российских ученых, чтобы они письменно ответили на 108 детских вопросов, и получилась замечательная книга.

США и борьба Латинской Америки за независимость, 1815—1830

Монография посвящена становлению дипломатических и торговых отношений США с государствами Латинской Америки: от первых официальных контактов до дипломатического признания и подписания межгосударственных договоров. Дается оценка деятельности различных участников этих событий: политиков, военных, купцов и просто – авантюристов. Работа имеет серьезное значение для понимания развития внешнеполитических принципов США, в том числе известной доктрины Монро. Автор выявляет социально-культурные предпосылки будущих конфликтов между двумя Америками.

Северная Русь: история сурового края ХIII-ХVII вв.

Вниманию широкого читателя предлагается научно-популярная книга о средневековой истории Северной Руси – от Древней Руси через удельный период к Московской Руси. Территориально исследование охватывает Белозерскую, Вологодскую и Устюжскую земли. История этой отдалённой окраины Древней Руси проанализирована на основе разнообразных письменных источников и с учётом новейших археологических данных. Показаны пути интеграции Севера с метрополией, формы административно-территориального устроения обширного края в XV–XVII вв.

Генерал Иван Георгиевич Эрдели. Страницы истории Белого движения на Юге России

Книга посвящена одному из основателей Добровольческой армии на Юге России генералу И. Г. Эрдели. В основу положены его письма-дневники, адресованные М. К. Свербеевой, датированные 1918–1919 годами. В этих текстах нашла отражение реакция генерала на происходящее, его рассуждения о судьбах страны и смысле личного участия в войне; они воссоздают внутреннюю атмосферу деникинской армии, содержат отрывки личного характера, написанные ярким поэтическим языком. Особое внимание автором монографии уделено реконструкции причинно-следственных связей между жизненными событиями и системообразующими свойствами личности.Монография предназначена для научных работников, преподавателей, студентов, всех интересующихся российской историей.