Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение [заметки]
Сноски
1
«Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки». День первый. (Пер. С. Н. Долгова.) Здесь и далее цит. по: Галилей Г. Избранные произведения: В 2 т. М.: Наука, 1964. Т. 2.
2
Китайское название – «Лунь юй», первая из четырех книг конфуцианского канона. В русских переводах называется также «Беседы и суждения». – Здесь и далее, если не указано иное, постраничные примеч. перев.
3
Более того, даже кажущееся сходство названий этих игр случайно. Го моку означает по-японски «пять камней». Название же игры го происходит от слов и-го, японского перевода китайского названия вэй-ци, которое традиционно переводится на русский как «облавные шашки».
4
«Две новые науки». День первый.
5
Здесь и далее цит. по: Паскаль Б. Мысли / Пер. с фр. Ю. А. Гинзбург. М.: Изд-во имени Сабашниковых, 1995.
6
Звукоподражательное слово, передающее чавканье. Дело в том, что в эту игру можно играть на разделенной на дольки плитке шоколада: игрок, делающий очередной ход, отламывает и съедает те «клетки», которые он занимает по правилам игры. В русском варианте (Гарднер М. Математические новеллы / Пер. с англ. Ю. А. Данилова. М.: Мир, 1974) игра называется «Щелк!».
7
А сразу после этого Пифагор добавляет: «Говорят, что был и еще один Пифагор, ваятель …; и другой, скверный ритор; и третий, врач …; и четвертый, сочинитель “Истории дорян”…» Итого получается восемь.
8
Мф. 7: 7.
9
Стоит отметить, что слово «тиран» употреблено здесь не в современном, а в исходном смысле: так назывался любой (не только жестокий и беззаконный) единоличный правитель, захвативший, а не унаследовавший, власть. Чтобы подчеркнуть это различие, в русских переводах классических текстов иногда используется написание «тиранн».
10
Имеется в виду американский формат записи дат, в котором месяц идет перед числом и 28 июня записывается в виде «6.28».
11
Такие числа чаще называют соответственно избыточными и недостаточными.
12
Серенада № 10 си-бемоль мажор для духовых, KV361 (370A).
13
Shanmugha Arts, Science, Technology & Research Academy – университет, расположенный близ индийского города Кумбаконама, родины Рамануджана.
14
В то время Бомбейский.
15
В русской терминологии такие числа (например, число 20) называются самопорожденными, в отличие от порожденных чисел (например, числа 40; число 29 называется его генератором).
16
Герой одноименного комикса.
17
В декабре 2018 г. было найдено еще большее простое число Мерсенна, равное 2>82 589 933 – 1. В десятичной записи оно содержит 24 862 068 цифр. К моменту выхода настоящего издания вполне могут устареть и эти сведения.
18
Или, если использовать формулу разности квадратов, 2>3 × 2 – 1 = (2³ – 1) (2³ + 1) = 7 × 9.
19
По более распространенной версии так называли его деда, а сам Дирихле, родившийся в немецком городе Дюрене, унаследовал это прозвище уже в качестве фамилии.
20
По совпадению латинского слова sex (шесть) со словом «секс» в современных языках. Заметим, что в латыни это слово, по-видимому, не имело никакого отношения к полу (sexus).
21
Такие числа также называют перестановочными, анаграмматическими или абсолютными простыми числами.
22
Я предпочитаю π (англ.).
23
Русский перевод Ю. А. Данилова вышел в 2000 г. в издательстве МЦМНО.
24
Речь идет об английском издании. На греческом этот роман был опубликован в 1992 г.; в 2000-м вышел – и стал мировым бестселлером – английский перевод, выполненный самим автором, который также внес в него значительные изменения. Русский перевод М. Б. Левина был опубликован в 2002 г. издательством АСТ.
25
Это название связано с тем, что Ферма впервые сформулировал эту теорему в письме к Мерсенну от 25 декабря 1640 г. Однако доказательства теоремы он не привел; ее первое доказательство было получено Эйлером и изложено им в письмах к Гольдбаху в 1747 и 1749 гг.
26
Из эссе «Изучение математики» (The Study of Mathematics, 1919).
27
Еще такую дробь называют несократимой. – Примеч. ред.
28
Напомним, что речь идет о степенях, являющихся натуральными числами. – Примеч. ред.
29
В русской математической литературе это число чаще обозначают прописной буквой Φ, а строчной буквой ϕ – число, обратное ему, т. е. 1/Φ.
30
Апория (греч. ἀπορία) – вымышленная, логически непротиворечивая ситуация, которая не может существовать в реальности. Построения Зенона принято называть по-русски именно апориями, а не парадоксами.
31
Уточним, что речь идет не о Греции в современных границах, а о всем комплексе городов и колоний греческой культуры, которые существовали в Античности в разных районах Средиземноморья, от Малой Азии до Прованса. В частности, город Элея находился в нынешней Кампании на юге Италии, километрах в ста от Неаполя.
32
Об этом пишет и Диоген Лаэртский (IX, 5).
33
Mathematics and the Metaphysicians // Mysticism and Logic, and Other Essays. N.Y.: Longmans, Green and Co., 1918.
34
«Дао дэ цзин», гл. 81.
35
Этот трехтомный труд был написан Расселом в соавторстве с Альфредом Н. Уайтхедом. Полный русский перевод вышел в 2005–2006 гг. в изд-ве Самарского ун-та.
36
В частности, в уже упомянутых работах «Математика и метафизики» и «Основания математики».
37
Matematische Annalen 95 (1926). P. 161–190. Доклад, прочитанный в июне 1925 г. на съезде математиков, организованном Вестфальским математическим обществом в Мюнстере в память Вейерштрасса.
38
J. reine und angew. Math. 77 (1874). P. 258–262.
39
«Антоний и Клеопатра», акт I, сцена 2. Пер. Д. Л. Михайловского.
40
Пуанкаре, получивший медаль Сильвестра в 1901 г., был, собственно, первым ее лауреатом.
41
По материнской линии: его отец был иранским азербайджанцем.
42
Относительно роста Наполеона до сих пор существуют разногласия. По одним сведениям, он составлял 157 см (что приблизительно соответствовало среднему мужскому росту во Франции того времени), по другим – около 170 см. Во всяком случае Наполеон, видимо, не был заметно ниже многих своих современников. Рост Дэнни Де Вито составляет 147 см.
43
Нам известны два перевода этой книги на русский язык: «Алиса в стране смекалки» (Пер. Ю. А. Данилова. М.: Мир, 1987) и «Приключения Алисы в стране головоломок» (Пер. Е. А. Трофимовой. М.: Просвещение, 2008).
44
Или расселовским множеством.
45
Цит. по: Архимед. Сочинения / Пер. с др.-греч. И. Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1962.
46
Или взаимно-однозначным.
47
В русской математической литературе чаще используется другое обозначение мощности: |А|. Есть и другие варианты: А= или card(A). Мы будем использовать символ #, как это делает автор книги.
48
А также не являющееся пустым множеством, но это сейчас не важно.
49
А также не является пустым множеством.
50
В русской математической литературе чаще используется малая готическая
51
«Диалог о двух главнейших системах мира» (1632). День второй. Пер. С. Н. Долгова.
52
Этот труд назывался «Аль-китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джебр ва-аль-мукабала», что означает «Краткая книга восполнения и противопоставления».
53
Принятое обозначение (сокр. англ. Continuum Hypothesis).
54
Точнее говоря, это выражение читается так: «Существует такое А, что для любого В верно, что В не принадлежит А».
55
T – сокр. англ. true («истинный»), F – false («ложный»), U – undecidable («неразрешимый»).
56
Она же геометрия Лобачевского.
57
Она же геометрия Римана.
58
Седьмое положение (и заключительная фраза) «Логико-философского трактата» (Logisch-philosophische Abhandlung, 1921). Цит. по: Витгенштейн Л. Философские работы. Часть I / Пер. М. С. Козловой и Ю. А. Асеева. М.: Гнозис, 1994.
59
В русском переводе эта книга была издана московским издательством «Едиториал УРСС» в 2003 г.
60
World Fashion Channel – международный телеканал, вещающий о современных тенденциях в моде, красоте, путешествиях, технологиях и стиле жизни. – Примеч. ред.
61
До бесконечности (лат.).
Комментарии
1
Для этого можно ввести в Google поисковый запрос «Elvis Presley Kevin Bacon». Элвис Пресли снимался в фильме «Смена привычки» (Change of Habit, 1969) с Эдвардом Аснером. Эдвард Аснер играл в фильме «Джон Ф. Кеннеди. Выстрелы в Далласе» (JFK, 1991), в котором снимался и Кевин Бейкон. Следовательно, у Аснера число Бейкона равно 1, а у Пресли (который никогда не играл в тех же фильмах, что и Бейкон) – 2.
2
Го – это абстрактная стратегическая настольная игра для двух игроков, задача которых – окружить большую территорию, чем противник. Эта игра требует стратегического и тактического мастерства и большой наблюдательности. Гомоку (которую называют также «гобан», или «пять в ряд») – тоже абстрактная стратегическая настольная игра, и в нее традиционно играют шашками («камнями») для го на доске для го размером 15 × 15 или 19 × 19 клеток. Однако задача участника этой игры – первым выстроить ряд из пяти шашек. В эту игру также можно играть с карандашом и бумагой.
3
Впервые я увидел эту задачу о восхождении монаха в книге Мартина Гарднера «Мои лучшие математические и логические головоломки» (My Best Mathematical and Logical Puzzles, 1994). Это чрезвычайно увлекательная маленькая книжка.
4
Многие математики с этим не согласятся. Они скажут, что мы говорим здесь о пределах сходимости и все зависит от того, с каким типом сходимости мы имеем дело. Читателям, не принадлежащим к числу математиков, может быть полезно найти в «Википедии» статью о концепции Supertask [ «суперзадачи» – соответствующей статьи на русском языке в «Википедии» пока что нет. – Примеч. перев.]: это задача, требующая выполнения бесконечного числа операций за конечный временной промежуток. Мы еще встретимся с этой концепцией позднее, когда познакомимся с Зеноном, Ахиллесом и черепахой.
5
По иронии судьбы о жизни самого Диогена Лаэртского тоже почти ничего не известно; мы знаем только, что великий биограф жил «когда-то в третьем веке».
6
Цит. по «Истории западной философии» Бертрана Рассела.
7
Условие это очень сложно, так что я не буду подробно описывать его.
8
Кроме того, Сабит ибн Курра одним из первых распространил теорему Пифагора для прямоугольных треугольников на случай произвольного треугольника.
9
Слово «собственные» означает здесь, что в множество этих делителей не включается само делимое число.
10
Математик Харальд Бор был братом великого датского физика Нильса Бора. Кроме того, он играл в футбольной сборной Дании, завоевал в ее составе серебряную медаль Олимпийских игр 1908 г. Эта цитата позаимствована из его лекции «Оглядываясь назад» (Et tilbageblik // Mat. Tidsskr. A (1947). P. 1–27).
11
Фудзивара весьма известен в Японии своими популярными книгами по математике. Одна из этих книг посвящена красоте теорем, которые он делит на красивые и уродливые.
12
Первое число – 81. Второе… барабанная дробь! – 1458. Удалось ли вам его найти?
13
Ответ – 62. Каждое число последовательности равно сумме предыдущего числа и суммы цифр предыдущего числа. Например, после 16 идет 23, потому что 16 + (1 + 6) = 16 + 7 = 23. Следовательно, ответ задачи: 49 + 13 = 62.
14
Подсказка: Найдите наибольшую степень 2, на которую делится ваше число. Ее и следует взять в качестве P – 1.
15
Теорема о распределении простых чисел утверждает (более или менее) следующее: вероятность того, что число, близкое к n, окажется простым, пропорциональна натуральному логарифму n, деленному на n. Поскольку это отношение стремится к 0 при n, стремящемся к бесконечности, это гарантирует редкость появления простых чисел среди всех натуральных чисел.
16
Триплет простых чисел – это набор из трех простых чисел вида (p, p + 2, p + 6) или (p, p + 4, p + 6). Это самое тесное из возможных расположений трех простых чисел, так как одно из любых трех последовательных нечетных чисел оказывается кратно трем и, следовательно, не является простым (за исключением самого числа 3) – кроме случаев (2, 3, 5) и (3, 5, 7).
17
Точнее, 100! равно 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463
976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000.
18
Эти числа названы ее именем, потому что она использовала их в своих исследованиях Великой теоремы Ферма.
19
«Теэтет» – один из диалогов Платона, посвященных природе знания. Он был написан около 369 г. до н. э.
20
Помимо того, что Пифагор открыл иррациональные числа, он внес еще один важный вклад в развитие математической науки: он ввел концепцию «доказательства» в смысле, очень похожем на тот, что известен нам сейчас.
21
Если вы вдруг забыли, что такое логарифм, напомню, что логарифм – это функция, обратная показательной. То есть если b >y = x, то log >b x = y. Другими словами, логарифм данного числа x – это степень, в которую нужно возвести другое данное число, основание b, чтобы получить число x. Например, 1000 = 10³; следовательно, log>101000 = 3. Точно так же log>264 = 6, поскольку 2>6 = 64.
22
Две величины образуют золотое сечение, если их отношение равно отношению их суммы к большей из них (то есть если a > b и a/b = (a + b)/a, то величины a и b образуют золотое сечение). Золотое сечение обозначают буквой ϕ.
23
23 марта 2010 г. благотворительная организация The Warm House («Теплый дом») опубликовала в интернете открытое письмо Перельману с просьбой пожертвовать эти деньги ей. Впоследствии Институт Клэя учредил на средства премии, присужденной Перельману, «кафедру Пуанкаре» – должность для молодых, перспективных математиков в парижском Институте Анри Пуанкаре.
24
Я нашел этот пример в книге «Бесконечность» (Infinity, 1964) Хосе Бенардета.
25
Тем, кого интересует биография Георга Кантора, настоятельно рекомендую превосходную книгу Даубена «Георг Кантор: Его математика и философия бесконечного» (Dauben J. W. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Harward University Press, 1979).
26
Цермело также был автором важной шахматной теории, которую кое-кто считает первой теоремой в теории игр. Я рассказывал об этом в книге «Гладиаторы, пираты и игры на доверии» (Watkins, 2017). (Русское издание вышло в московском изд-ве «КоЛибри» в конце 2020 г. – Примеч. ред.)
27
Рассел также был удостоен медали Сильвестра (в 1934 г.). Кроме того, в 1958 г. он получил Нобелевскую премию по литературе. Насколько мне известно, Рассел – единственный человек, получивший обе эти престижные награды.
28
Числа с равной высотой располагаются в порядке возрастания числителя.
29
Когда-то я читал книгу по теории множеств на русском языке, изданную еще до перестройки, и в ней были еврейские буквы. Если вам кажется, что в этом нет ничего особенного, добавлю, что в советской истории был период, когда за изучение иврита могли посадить в тюрьму.
30
Для математиков: алгебраические числа замкнуты относительно операций умножения и сложения, то есть образуют «кольцо».
31
Постоянная Эйлера е играет «главную роль» в самом красивом на свете равенстве e>iπ + 1=0. Это число, равное 2,17181828459045… встречается в математике очень часто. Оно служит основанием натуральных логарифмов, используется в натуральной показательной функции, в вычислении процентов и в других областях.
32
У такой системы должны быть и другие естественные свойства, которыми обладает система ZF.
33
Радикалом называют просто корень из любого числа.
34
Penrose L. S. & Penrose R. Impossible Objects: A Special Type of Visual Illusion // British Journal of Psychology. 49 (1958). Р. 31–33.
