Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [60]

Шрифт
Интервал

Теперь возьмем бесконечное множество, например счетное множество с мощностью ℵ>0 или континуальное множество с мощностью ℵ. Мощность их булеанов обозначается соответственно


Две головоломки для математиков

1. Докажите теорему Кантора (подсказка: парадокс Рассела).

2. Поскольку мощность множества натуральных чисел равна ℵ>0, мощность множества его подмножеств должна быть



Докажите, что



Другими словами, докажите, что мощность всех подмножеств множества натуральных чисел равна мощности континуума.

Парадокс Бурали-Форти

В 1897 г. итальянский математик Чезаре Бурали-Форти представил парадокс, который впоследствии стал называться его именем. Его можно описать следующим образом.

Рассмотрим множество всех множеств, то есть включающее в себя множество всех живущих ныне людей, множество всех людей, которые жили в прошлом, множество всех песен, которые можно сочинить, множество всех женщин, которых никогда не показывали на Fashion Channel[60], множество всех женщин, которых зовут Гризельда, множество всех цветов, множество всех идей, о которых никто никогда не сможет подумать, множество всех сражений, в которых я не участвовал, множество всех вещественных чисел, множество всех кинофильмов, которые не поставил Тарковский, множество всех кинофильмов, которые можно или можно было посмотреть на сайте YouTube, множество всех функций, множество всех философов, которые никогда не страдали от депрессии, множество всех молекул, которые находятся в данный момент в подвале моего дома… Теперь прибавим к нему все подмножества всех множеств. Короче говоря, пусть в этом множестве множеств содержится все, о чем только можно помыслить.

Обозначим это множество множеств Ω.

Очевидно, мощность Ω должна быть больше, чем мощность любого другого множества, – потому что оно включает в себя всё на свете. Но теорема Кантора утверждает, что #P(Ω) > #(Ω). То есть мощность P(Ω) больше, чем мощность Ω, множества всех множеств!

Кантора этот парадокс не особенно обеспокоил, так как он считал, что множество всех множеств слишком велико, чтобы считать его множеством. Не должен удивлять и читателя этой книги, так как мы знаем в свете парадокса Рассела, что не всякий набор объектов образует правильное множество.

Арифметика кардинальных чисел

Надеюсь, теперь вам ясно, что термины «мощность» или «кардинальное число» – это просто обобщение концепции «количества элементов», применяемой для конечных множеств, на множества бесконечные. Количество элементов конечных множеств обозначается натуральными кардинальными числами, но интуитивно понятно, что кардинальные числа также определяют количество элементов в бесконечных множествах. Например, если мощность некоторого множества – ℵ>0, то в нем содержится такое же количество элементов, как и в множестве натуральных чисел.

На уроках математики мы заучили, что над конечными числами можно производить математические операции – например сложение, деление и умножение. Такие же базовые операции можно определить и для множеств. В самом деле, когда мы складываем два натуральных числа, мы, по сути дела, «объединяем» их; эта операция аналогична объединению двух непересекающихся множеств (непересекающимися называются множества, не имеющие общих элементов). Если в одном множестве m элементов, а в другом – n элементов, то объединение этих двух множеств будет содержать n + m элементов.

Приведем один простой пример:

Если A = {Q, W, E, R, T, Y}, а B = {17, 21}, то A∪B = {Q, W, E, R, T, Y, 17, 21}.

В этом случае #A = 6, а #B = 2; следовательно, #A∪B = 6 + 2 = 8.

Операции с кардинальными числами работают точно так же. Например, чтобы вычислить сумму ℵ>0 + ℵ>0, нужно взять два непересекающихся множества, причем оба они должны быть счетными, и посмотреть, какую мощность будет иметь их объединение. Из приведенного примера мы увидим, что результат не зависит от того, какие именно множества мы выберем.

Например, возьмем A = (1, 3, 5, 7, 9, 11…) и B = (2, 4, 6, 8, 10…). Множества А и В не пересекаются, а мощность каждого из них, разумеется, равна ℵ>0.

Как вы видите, A∪B = N, то есть их объединение дает множество всех натуральных чисел, мощность которого, как мы знаем, равна ℵ>0.

Итак, получается, что ℵ>0 + ℵ>0 = ℵ>0. Собственно говоря, мы не открыли ничего нового: мы уже знали, что объединение двух счетных множеств также является счетным множеством.

Но тут нужна осторожность! Не следует увлекаться и думать, что к бесконечным значениям можно применять все правила обычной математики. Например, хотя ℵ>0 + ℵ>0 = ℵ>0, мы не можем вычесть из обеих частей этого равенства по ℵ>0, потому что тогда мы получили бы бессмысленное и, честно говоря, довольно нелепое выражение ℵ>0 = 0! Поэтому следует помнить, что обращение с бесконечными значениями требует некоторой осмотрительности.

Операцию умножения также можно описать в применении к множествам. Когда мы умножаем натуральное число n на m, эта операция на самом деле представляет собой обычное сложение n с самим собой, произведенное m раз, то есть n + n + + … + n = n · m. Преобразуем этот же принцип для множеств: если у нас есть два множества А и В, мы возьмем «В экземпляров» А в том смысле, что к каждому элементу b множества В мы прибавим экземпляр множества А. Например, если A = {Q, W, E, R, T}, а B = {17, 21, 33}, то произведением этих множеств будет объединение экземпляра множества А для числа 17, экземпляра А для 21 и экземпляра А для 33. Это можно записать следующим образом:


Еще от автора Хаим Шапира
Счастье и другие незначительные вещи абсолютной важности

Эта книга – не из серии «Помоги себе сам». В ней Хаим Шапира – дважды доктор наук, математик, философ, психолог, литератор – пытается найти ответ на волнующий каждого вопрос – что такое счастье? И что надо делать (или чего не делать), чтобы стать счастливым человеком. К поискам привлечены такие авторитеты, как Платон, Декарт, Шекспир, Чехов, Вуди Аллен… Маленький принц, Винни-Пух, Алиса из Страны чудес и многие другие. Читатель узнает также, почему в нашей жизни так важны числа, что считают высшим счастьем женщины и почему их точка зрения так удивляет мужчин, всегда ли ученье – свет, что такое гнев и какова цена истинной дружбы.Хаим Шапира написал очень смешную книгу об очень серьезных вещах.


Гладиаторы, пираты и игры на доверии. Как нами правят теория игр, стратегия и вероятности

Избегать риска любой ценой – это очень рискованный путь, считает видный израильский математик и философ, автор бестселлеров Хаим Шапира. Его лаконичная, написанная с юмором книга полна поучительных парадоксов и примеров, которые объединяет главная тема: рассказ о том, как теория игр влияет на нашу жизнь, как ее положения можно использовать в ведении переговоров, выработке навыков стратегического мышления, в справедливом разделении бремени и в решении множества повседневных задач. «Эта книга касается теории игр и слегка затрагивает ряд важных идей в статистике и теории вероятностей.


Рекомендуем почитать
Наполеон Бонапарт: между историей и легендой

Наполеон притягивает и отталкивает, завораживает и вызывает неприятие, но никого не оставляет равнодушным. В 2019 году исполнилось 250 лет со дня рождения Наполеона Бонапарта, и его имя, уже при жизни превратившееся в легенду, стало не просто мифом, но национальным, точнее, интернациональным брендом, фирменным знаком. В свое время знаменитый писатель и поэт Виктор Гюго, отец которого был наполеоновским генералом, писал, что французы продолжают то показывать, то прятать Наполеона, не в силах прийти к окончательному мнению, и эти слова не потеряли своей актуальности и сегодня.


Император Алексей Ι Комнин и его стратегия

Монография доктора исторических наук Андрея Юрьевича Митрофанова рассматривает военно-политическую обстановку, сложившуюся вокруг византийской империи накануне захвата власти Алексеем Комнином в 1081 году, и исследует основные военные кампании этого императора, тактику и вооружение его армии. выводы относительно характера военно-политической стратегии Алексея Комнина автор делает, опираясь на известный памятник византийской исторической литературы – «Алексиаду» Анны Комниной, а также «Анналы» Иоанна Зонары, «Стратегикон» Катакалона Кекавмена, латинские и сельджукские исторические сочинения. В работе приводятся новые доказательства монгольского происхождения династии великих Сельджукидов и новые аргументы в пользу радикального изменения тактики варяжской гвардии в эпоху Алексея Комнина, рассматриваются процессы вестернизации византийской армии накануне Первого Крестового похода.


Продолжим наши игры+Кандибобер

Виктор Пронин пишет о героях, которые решают острые нравственные проблемы. В конфликтных ситуациях им приходится делать выбор между добром и злом, отстаивать свои убеждения или изменять им — тогда человек неизбежно теряет многое.


Краткая история насекомых. Шестиногие хозяева планеты

«Любая история, в том числе история развития жизни на Земле, – это замысловатое переплетение причин и следствий. Убери что-то одно, и все остальное изменится до неузнаваемости» – с этих слов и знаменитого примера с бабочкой из рассказа Рэя Брэдбери палеоэнтомолог Александр Храмов начинает свой удивительный рассказ о шестиногих хозяевах планеты. Мы отмахиваемся от мух и комаров, сражаемся с тараканами, обходим стороной муравейники, что уж говорить о вшах! Только не будь вшей, человек остался бы волосатым, как шимпанзе.


Историческое образование, наука и историки сибирской периферии в годы сталинизма

Настоящая монография посвящена изучению системы исторического образования и исторической науки в рамках сибирского научно-образовательного комплекса второй половины 1920-х – первой половины 1950-х гг. Период сталинизма в истории нашей страны характеризуется определенной дихотомией. С одной стороны, это время диктатуры коммунистической партии во всех сферах жизни советского общества, политических репрессий и идеологических кампаний. С другой стороны, именно в эти годы были заложены базовые институциональные основы развития исторического образования, исторической науки, принципов взаимоотношения исторического сообщества с государством, которые определили это развитие на десятилетия вперед, в том числе сохранившись во многих чертах и до сегодняшнего времени.


Технологии против Человека. Как мы будем жить, любить и думать в следующие 50 лет?

Эксперты пророчат, что следующие 50 лет будут определяться взаимоотношениями людей и технологий. Грядущие изобретения, несомненно, изменят нашу жизнь, вопрос состоит в том, до какой степени? Чего мы ждем от новых технологий и что хотим получить с их помощью? Как они изменят сферу медиа, экономику, здравоохранение, образование и нашу повседневную жизнь в целом? Ричард Уотсон призывает задуматься о современном обществе и представить, какой мир мы хотим создать в будущем. Он доступно и интересно исследует возможное влияние технологий на все сферы нашей жизни.