Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [57]
Эти три теоремы настолько потрясли математический мир, что споры о их сути продолжаются и по сей день. Эта интереснейшая тема, несомненно, заслуживает отдельного рассмотрения.
На протяжении более чем полувека математики, работающие в области аксиоматической теории множеств, пытались найти «недостающую аксиому» (или аксиомы). Успеха никто из них не добился. Сейчас большинство специалистов в этой области считают, что никаких недостающих аксиом нет, и правильный подход к этому вопросу заключается в рассмотрении взаимосвязей между разными аксиомами. Можно, конечно, принять за аксиому саму континуум-гипотезу, но тут важно помнить, что аксиомы должны быть сформулированы так, чтобы в их справедливость было легко поверить, а в случае континуум-гипотезы это требование явно не выполняется.
В 2006 г. (за год до смерти) Пол Коэн прочитал интереснейшую лекцию о континуум-гипотезе на конференции в честь Гёделя, проходившей в Вене. Его лекцию (в шести частях) можно найти на YouTube по запросу: Paul Cohen part 1 of 6, Centennial, Vienna.
Тем временем в геометрии восстали из пепла некоторые интересные теории относительно невозможности обоснования пятого постулата при помощи евклидовой аксиоматической системы. В XIX в. были разработаны две другие геометрические системы, которые считаются неевклидовыми геометриями. Первая из них (гиперболическая геометрия[56]) предполагает, что через точку А, не лежащую на прямой m, можно провести более одной прямой, не пересекающей прямую m. Вторая (эллиптическая геометрия[57]) предполагает, что через точку А, не лежащую на прямой m, невозможно провести ни одну прямую, не пересекающую прямую m.
Подобно тому, как попытки обоснования пятого постулата в евклидовой геометрии привели к появлению в геометрии новых, неевклидовых теорий, обоснование континуум-гипотезы также дало толчок развитию неканторовой теории множеств, не предполагающей континуум-гипотезы. Честно говоря, неканторовых теорий существует много, потому что в последние годы математики, применяя предложенный Полом Коэном систематический метод «форсинга», доказали неразрешимость многих еще не решенных классических открытых проблем.
В прошлом можно было считать, что любое математическое утверждение может быть либо доказано, либо опровергнуто – если только над ним будут достаточно долго работать достаточно умные математики. Теоремы Гёделя доказали, что существуют утверждения не истинные и в то же время не ложные. Они, собственно говоря, неразрешимы.
Математику можно определить как область, в которой мы никогда не знаем, ни о чем мы говорим, ни истинно ли то, что мы говорим.
Бертран Рассел
Парадокс Ришара (о большинстве вещей нам сказать нечего)
Парадокс, о котором мы сейчас будем говорить, носит имя французского математика Жюля Ришара (1882–1956) и был опубликован в 1905 г. Ниже я даю словесное (а не формальное) описание этого парадокса.
Фраза «вещественное число, целая часть которого равна 42, а после запятой на нечетных местах стоят нули, а на четных местах – единицы» точно определяет число 42,0101010101… Аналогичным образом фраза «число, которое, будучи дважды умножено само на себя, дает число 7» точно определяет число³√7.
Ришар сказал: обозначим буквой Е множество всех вещественных чисел, которые можно определить с использованием конечного количества слов. Такое множество, несомненно, будет счетным (поскольку мы можем расположить числа в порядке возрастания количества слов в определениях, а если определения содержат равное количество слов – в лексикографическом (алфавитном) порядке). Затем, применив диагональный метод Кантора, он построил число, которого не было в исходном множестве чисел. Тем не менее это число также можно определить, используя конечное количество слов. Таким образом, это число не входит в состав множества, но должно быть его элементом.
Получился парадокс.
Один из способов разрешения этого парадокса – отметить, что свойство «число, которое невозможно определить с использованием конечного количества слов» не является свойством, которое можно определить на математическом языке. Чтобы развить эту идею, рассмотрим тот же парадокс с другой точки зрения. Представим себе, что в словаре содержится всего пять слов, например: «бор», «вор», «мор», «сор» и «тор». Более чем вероятно, что при наличии такого ограничения мы не смогли бы говорить ни на какую тему, требующую слов, не входящих в эту пятерку. Например, мы не смогли бы обсуждать континуум-гипотезу и уж тем более разговаривать о возможных противоречиях между разными физическими теориями.
Любая система символической логики (в том числе и математика) содержит набор формул. Слово «формула» используется здесь не в сравнительно узком математическом смысле. Его следует понимать гораздо более широко: под формулой мы можем понимать символ, слово, выражение, фразу, определение – все то, что мы используем для выражения идей. Поскольку между множеством формул и множеством натуральных чисел существует одно-однозначное соответствие, ясно, что мощность множества формул равна ℵ>0. Если это так, как можно обсуждать вещественные числа? Мощность их множества больше ℵ
Эта книга – не из серии «Помоги себе сам». В ней Хаим Шапира – дважды доктор наук, математик, философ, психолог, литератор – пытается найти ответ на волнующий каждого вопрос – что такое счастье? И что надо делать (или чего не делать), чтобы стать счастливым человеком. К поискам привлечены такие авторитеты, как Платон, Декарт, Шекспир, Чехов, Вуди Аллен… Маленький принц, Винни-Пух, Алиса из Страны чудес и многие другие. Читатель узнает также, почему в нашей жизни так важны числа, что считают высшим счастьем женщины и почему их точка зрения так удивляет мужчин, всегда ли ученье – свет, что такое гнев и какова цена истинной дружбы.Хаим Шапира написал очень смешную книгу об очень серьезных вещах.
Избегать риска любой ценой – это очень рискованный путь, считает видный израильский математик и философ, автор бестселлеров Хаим Шапира. Его лаконичная, написанная с юмором книга полна поучительных парадоксов и примеров, которые объединяет главная тема: рассказ о том, как теория игр влияет на нашу жизнь, как ее положения можно использовать в ведении переговоров, выработке навыков стратегического мышления, в справедливом разделении бремени и в решении множества повседневных задач. «Эта книга касается теории игр и слегка затрагивает ряд важных идей в статистике и теории вероятностей.
Послевоенные годы знаменуются решительным наступлением нашего морского рыболовства на открытые, ранее не охваченные промыслом районы Мирового океана. Одним из таких районов стала тропическая Атлантика, прилегающая к берегам Северо-западной Африки, где советские рыбаки в 1958 году впервые подняли свои вымпелы и с успехом приступили к новому для них промыслу замечательной деликатесной рыбы сардины. Но это было не простым делом и потребовало не только напряженного труда рыбаков, но и больших исследований ученых-специалистов.
Настоящая монография посвящена изучению системы исторического образования и исторической науки в рамках сибирского научно-образовательного комплекса второй половины 1920-х – первой половины 1950-х гг. Период сталинизма в истории нашей страны характеризуется определенной дихотомией. С одной стороны, это время диктатуры коммунистической партии во всех сферах жизни советского общества, политических репрессий и идеологических кампаний. С другой стороны, именно в эти годы были заложены базовые институциональные основы развития исторического образования, исторической науки, принципов взаимоотношения исторического сообщества с государством, которые определили это развитие на десятилетия вперед, в том числе сохранившись во многих чертах и до сегодняшнего времени.
Монография посвящена проблеме самоидентификации русской интеллигенции, рассмотренной в историко-философском и историко-культурном срезах. Логически текст состоит из двух частей. В первой рассмотрено становление интеллигенции, начиная с XVIII века и по сегодняшний день, дана проблематизация важнейших тем и идей; вторая раскрывает своеобразную интеллектуальную, духовную, жизненную оппозицию Ф. М. Достоевского и Л. Н. Толстого по отношению к истории, статусу и судьбе русской интеллигенции. Оба писателя, будучи людьми диаметрально противоположных мировоззренческих взглядов, оказались “versus” интеллигентских приемов мышления, идеологии, базовых ценностей и моделей поведения.
Монография протоиерея Георгия Митрофанова, известного историка, доктора богословия, кандидата философских наук, заведующего кафедрой церковной истории Санкт-Петербургской духовной академии, написана на основе кандидатской диссертации автора «Творчество Е. Н. Трубецкого как опыт философского обоснования религиозного мировоззрения» (2008) и посвящена творчеству в области религиозной философии выдающегося отечественного мыслителя князя Евгения Николаевича Трубецкого (1863-1920). В монографии показано, что Е.
Эксперты пророчат, что следующие 50 лет будут определяться взаимоотношениями людей и технологий. Грядущие изобретения, несомненно, изменят нашу жизнь, вопрос состоит в том, до какой степени? Чего мы ждем от новых технологий и что хотим получить с их помощью? Как они изменят сферу медиа, экономику, здравоохранение, образование и нашу повседневную жизнь в целом? Ричард Уотсон призывает задуматься о современном обществе и представить, какой мир мы хотим создать в будущем. Он доступно и интересно исследует возможное влияние технологий на все сферы нашей жизни.
Что такое, в сущности, лес, откуда у людей с ним такая тесная связь? Для человека это не просто источник сырья или зеленый фитнес-центр – лес может стать местом духовных исканий, служить исцелению и просвещению. Биолог, эколог и журналист Адриане Лохнер рассматривает лес с культурно-исторической и с научной точек зрения. Вы узнаете, как устроена лесная экосистема, познакомитесь с различными типами леса, характеризующимися по составу видов деревьев и по условиям окружающей среды, а также с видами лесопользования и с некоторыми аспектами охраны лесов. «Когда видишь зеленые вершины холмов, которые волнами катятся до горизонта, вдруг охватывает оптимизм.