Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [56]
Не существует множества с мощностью, строго промежуточной между мощностью множества целых чисел, ℵ>0, и мощностью множества вещественных чисел, ℵ.
В течение многих лет и несмотря на огромные усилия математики не могли ни доказать, ни опровергнуть эту гипотезу. В знаменитом Гильбертовом списке 23 наиболее важных открытых проблем в математике она стояла первой.
Чтобы понять то историческое событие, которое привело к решению проблемы СН, нам нужно сделать шаг назад и посмотреть, что происходило в то время в геометрии. Как вы помните, геометрия по большей части основывается на системе аксиом (они же постулаты), разработанной Евклидом более 2000 лет назад и до сих пор применимой в том, что можно назвать «базовой» геометрией. Несмотря на древность этой системы, существовала давняя открытая проблема, касающаяся пятого постулата Евклида, «аксиомы параллельности прямых». Этот постулат гласит: если на плоскости есть прямая m и точка А, не лежащая на этой прямой, то через эту точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной. По правде говоря, этот вариант пятого постулата Евклида предложил шотландский математик XVIII в. Джон Плейфер. В формулировке самого Евклида речь шла о сумме углов и не использовалось слово «параллельная». Вопрос заключался вот в чем: можно ли вывести пятый постулат из других аксиом? Другими словами, избыточна ли эта аксиома? Оказалось, что эта аксиома фундаментальна, то есть не может быть выведена исходя только из четырех других аксиом. Эта идея, вероятно, побудила математиков исследовать, как СН соотносится с аксиомами теории множеств, и рассуждения об аксиомах в конечном счете оказали влияние на теорию множеств.
С годами стало ясно, что вопросы о бесконечности должны быть очень близки к самым основам математики, и подходить к ним следует с чрезвычайной осторожностью.
В 1908 г. был создан набор аксиом, который называется системой Цермело – Френкеля (ZF). Мы уже знакомы с Цермело (это он защищал Кантора и сформулировал первую теорему теории игр); Абрахам Галеви Френкель был израильским математиком, ставшим первым деканом Математического факультета Еврейского университета в Иерусалиме. Они сформулировали свою систему, чтобы создать для теории множеств – и математики в целом – надежную основу, которая дала бы математикам строгие методы для работы с бесконечными множествами и решения некоторых задач в этой области – например парадокса Рассела. Аксиомы ZF – это попросту в высшей степени элементарные утверждения о концепции множеств, которые, как мы верим (да, верим всем сердцем!), настолько самоочевидны, что не вызывают сомнений. Вот, например, «аксиома пустого множества»:
В переводе на человеческий язык это означает «существует множество, не содержащее элементов»[54].
Предполагалось, что аксиоматическая система будет играть в теории множеств ту же роль, которую играет в геометрии система аксиом Евклида. Однако на деле вышло не совсем так.
В 1938 г. австрийский логик, математик и философ Курт Гёдель доказал, что континуум-гипотезу невозможно опровергнуть, используя аксиоматическую систему Цермело – Френкеля для теории множеств. 25 лет спустя, в 1963 г., Пол Коэн (1934–2007), профессор математики из Стэнфордского университета, продемонстрировал невозможность доказательства континуум-гипотезы на основе аксиом Цермело – Френкеля. Коэн и Гёдель доказали, что континуум-гипотезу невозможно ни доказать, ни опровергнуть. В результате оказалось, что вопрос об истинности континуум-гипотезы не может быть решен исходя только из аксиом ZF. Так явилось на свет первое «неразрешимое» утверждение.
В старом Евклидовом мире действовала Аристотелева логика, предполагавшая лишь два варианта правильности утверждения: оно могло быть либо истинным (Т), либо ложным (F). Теперь у нас появился третий вариант: утверждение может быть неразрешимым (U)[55].
Очевидно, можно спросить: не вызвана ли эта проблема с неразрешимыми утверждениями тем, что в системе Цермело – Френкеля не хватает каких-нибудь аксиом? Вполне может быть так, что существует еще одна «очевидно истинная» концепция, пока не открытая, добавление которой к системе ZF позволит доказать СН. Или, если рассматривать этот вопрос с еще более оптимистической точки зрения, можно ли усовершенствовать ZF какими-нибудь дополнительными аксиомами так, чтобы все утверждения стали разрешимыми в этой системе?
В 1931 г. Гёдель, которому было тогда всего 25 лет, выдвинул три теоремы – одну о полноте и две о неполноте, – которые рассматривают общий случай неразрешимых утверждений. Суть первой теоремы о неполноте сводится к тому, что в какой бы системе аксиом мы ни работали, если эта система достаточно развита, чтобы порождать натуральные числа, в ней всегда существуют неразрешимые утверждения{32}. Такое ограничение того, чего можно было бы ожидать от аксиоматической системы, было непредвиденным.
