Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [55]
Лиувилль доказал, что это число не является корнем какого бы то ни было алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.
Как вы можете вообразить, это доказательство не слишком просто, так что вам придется поверить мне (и Лиувиллю) на слово – это действительно так.
Посмотрите на следующее число: 3,140001000000000000000005… сформированное сходным образом. Это число получено из десятичного представления числа π, в котором все цифры после запятой, кроме 1-й, 2-й, 6-й, 24-й, 120-й и так далее (их номера соответствуют 1! 2! 3!..), заменены нулями. На упомянутых же местах стоят последовательные цифры числа π.
Поскольку π =3,141592653589793… на 24-м месте оказывается цифра 5, на 120-м месте – цифра 9, на 720-м – цифра 2 и так далее.
Математики могут доказать, что это число также трансцендентно (а вам снова придется поверить, что они знают свое дело).
А как обстоит дело с самим π? Трансцендентно ли это число?
π: Я не рационально!
Вы не можете угадать, как я себя поведу…
Тот факт, что число π иррационально (то есть не существует такой дроби a/b, которая давала бы значение π), отметил – но не доказал – еще персидский математик, астроном и географ IX в. Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (в латинской транскрипции его имя передавалось как Algoritmi, и от него произошло слово «алгоритм»). Он был заметной фигурой знаменитого «Дома мудрости» в Багдаде в эпоху наивысшего расцвета исламской культуры. Ему принадлежит множество чрезвычайно важных достижений в области алгебры; более того, само слово «алгебра» происходит от сочетания «аль-джебр», взятого из названия фундаментального труда по этой науке, который аль-Хорезми написал около 820 г.[52].
Маймонид также верил в иррациональность π, но не доказал его. Строгое доказательство получил только в 1768 г. швейцарский математик (Эйлер был не единственным швейцарским математиком!) Иоганн Генрих Ламберт.
Доказательство иррациональности числа π сравнительно просто; доказать же, что π – число трансцендентное, оказалось чрезвычайно трудно. Прошло еще более 100 лет, прежде чем немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал в 1882 г., что π трансцендентно, то есть не является корнем какого-либо многочлена с целочисленными коэффициентами.
За несколько лет до этого, в 1873 г., французский математик Шарль Эрмит (вы заметили, как много нам встречается французских математиков?) доказал трансцендентность е – числа Эйлера{31}. Доказательство трансцендентности числа (особенно числа π) – процесс долгий и сложный, и здесь мы не станем входить в его подробности. В общем, просто представьте себе, каким образом можно получить доказательство того, что существует число, не дающее нуля ни в каком уравнении вида
Это отнюдь не простая задача!
Чтобы проиллюстрировать ее сложность, скажу только, что в настоящее время все еще неизвестно, к каким числам – алгебраическим или трансцендентным – относится π в степени π (π>π). Давид Гильберт (который, напомню, является счастливым «владельцем» бесконечной гостиницы) задавался вопросом об алгебраичности или трансцендентности числа 2>√2. Сегодня мы знаем, что это число трансцендентно. Собственно говоря, доказательство этого факта – часть общей теоремы, которая называется теоремой Гельфонда – Шнайдера, утверждающей, что число a>b трансцендентно, если а – любое алгебраическое число, не равное 0 или 1, а b – иррациональное алгебраическое число. При помощи этой теоремы мы можем заключить, что е в степени π (e>π) должно быть трансцендентным, так как, если вы помните, e>π = e>i>π(–>i>) = (–1)>–>i.
Почему? В этом случае число (–1), стоящее на месте а, – это алгебраическое число, не равное ни 0, ни 1. На месте b стоит число, и это действительно число алгебраическое (i – корень уравнения x² + 1 = 0) и иррациональное.
Эту прекрасную теорему независимо друг от друга доказали в 1934 и 1935 гг. русский математик Александр Гельфонд и немецкий математик Теодор Шнайдер. Теорема Гельфонда – Шнайдера дала ответ на вторую часть седьмой проблемы из списка 23 нерешенных математических задач, который Гильберт представил в 1900 г. Международному конгрессу математиков, собравшемуся в Парижском университете – Сорбонне.
Таким образом, мы знаем, что оба числа 2>√2 и e>π = e>i>π(–>i>) = (–1)>–>i трансцендентны. С двумя числами мы разобрались, осталось бесконечное количество других.
Континуум-гипотеза и недостающая аксиома
Мы уже знаем, что мощность множества вещественных чисел больше мощности множества натуральных чисел. Но насколько она больше? И почему мы обозначаем ее ℵ? Почему бы не сказать, что кардинальное число множества вещественных чисел равно ℵ>1? Казалось бы, такое обозначение было бы естественным продолжением ℵ>0.
Как мы уже говорили, тот факт, что множество несчетно, не всегда означает, что его мощность равна ℵ. Отсюда возникает естественный вопрос: существуют ли множества чисел, мощность которых больше, чем ℵ>0, но меньше, чем ℵ? В 1877 г. именно этим вопросом задался Георг Кантор.
В математике умение поставить вопрос должно цениться выше, чем умение разрешить его.
Георг Кантор
Кантор считал, что множеств, мощность которых больше, чем ℵ
