Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - [21]

Шрифт
Интервал

Так как интегрируемое J(u) всегда положительно (является суммой квадратов), интеграл J(u) всегда больше или равен нулю. Поэтому Дирихле показалось рациональным, что должна существовать функция u, которая имела бы наименьшее значение. Заметьте, что если бы не было этой нижней границы, предполагающей нуль, могло бы оказаться так, что получаемые значения с каждым разом становились бы все меньше (0, -1, -2, -3...), причем это необязательно должно быть наименьшее значение. Предполагая существование этой минимизирующей функции u из J(u)> Дирихле доказал, что функция u гармоническая и, следовательно, удовлетворяет исходной проблеме, которую нужно решить.

Но оставалось неясно, действительно ли существует этот минимум, эта функция u, в которой интеграл Дирихле достигал бы своего наименьшего значения. Стоит подумать, например, о множестве всех действительных положительных чисел: они все больше или равны нулю, но нет ни одного, которое было бы наименьшим (для любого выбранного нами числа всегда будет меньшее число). Нижней границы множества (нуля) невозможно достичь в рамках самого множества (положительных чисел), так что нет и минимума. Усилия Вейерштрасса и его математической школы, направленные на строгое обоснование существования u, разбились об этот вопрос. Однако физики продолжали считать, что так называемый принцип Дирихле гарантирует решение проблемы Дирихле.

И лишь Гильберту — около 1904 года — удалось возродить принцип и доказать несомненное существование минимума. Но чтобы объяснить его доказательство, мы должны погрузиться в пограничную область вариационного исчисления, которое стремится определить, какие функции делают интеграл наименьшим.


ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Проблема брахистохроны, или кривой с самым быстрым спуском, исторически была первой проблемой в развитии вариационного исчисления. Среди всех кривых, соединяющих две точки, нужно найти ту, вдоль которой частица, двигаясь под действием силы тяжести, падает за меньшее время. При рассмотрении всех возможных кривых, соединяющих точку А с точкой В ищется минимизирующая время падения, что может быть выражено в виде интеграла. То есть ведется поиск кривой или функции, которая делает наименьшим значение этого интеграла. Данная проблема была предложена в 1696 году Иоганном Бернулли (1667-1748) и была решена независимо Ньютоном, Лейбницем, Иоганном и Якобом Бернулли. Решением оказалась не прямая линия и не дуга окружности, а дуга кривой под названием циклоида (см. рисунок 3).

Базовые понятия новой ветви анализа принадлежат Эйлеру и Лагранжу. Первый ввел название вариационное исчисление, а второй создал «метод вариации», который позволяет решить многие проблемы в рамках этой дисциплины. Основа вариационных проблем следующая: предполагается множество С любых элементов (чисел, геометрических точек, функций и так далее), которые обозначаются как м, и каждому элементу и назначается число F(u). Если С — это числовое множество, то F(u) — это функция от одной переменной; если С — это множество точек на плоскости, то F(u) — это функция от двух переменных, и так далее. Но если С — это множество функций, то F(u) — это то, что называется функционалоМу который в одной из различных функций, входящих в состав множества, может принимать значение экстремума (максимума или минимума).

Чтобы решить проблему вариационного исчисления, сравнивали пробную функцию и со всеми ближайшими функциями, то есть с теми, которые получаются при легком варьировании пробной функции и (отсюда название «вариационное исчисление»), и вычисляли функционал F для каждой функции. Для функции, являющейся решением, характерно, что функционал для всех ближайших функций всегда больше (если мы ищем минимум). В этом суть «метода вариации». Эйлер и Лагранж обнаружили: для того чтобы функция и множества С предоставляла экстремальное значение (максимум или минимум) функционалу, F(ü) должно удовлетворять некоторому дифференциальному уравнению (уравнениям Эйлера — Лагранжа). Однако удовлетворение данному уравнению — необходимое, но недостаточное условие.

РИС. 3:

Дуга циклоиды между А и В.


РИС. 4:

Какую из трех возможных траекторий выберет частица, чтобы из А попасть в В? Принцип наименьшего действия устанавливает, что это траектория, минимизирующая величину под названием действие.


Мерой успеха этой плеяды идей является то, что многие математики XVIII и XIX веков стремились истолковать появлявшиеся в физике дифференциальные уравнения как экстремальные условия определенных функционалов. Законы физики можно было переписать в терминах принципов минимума, поскольку природа всегда стремится к оптимизации. Эту же цель преследовали Пьер Луи де Мопертюи (1698-1859) в механике по принципу наименьшего действия (см. рисунок 4), а также Пьер де Ферма (1601-1665) в оптике: траектория, которой следует луч света, проходя из точки А в другую точку В другой среды, — это траектория, требующая наименьшего времени. Физические трактаты конца XIX века были полны подобных принципов, утверждающих, что определенные физические процессы всегда протекают так, чтобы минимизировалось некое количество. Это были так называемые вариационные принципы.


Рекомендуем почитать
Заяшников Сергей Иванович. Биография

В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.


Беседы с Ли Куан Ю. Гражданин Сингапур, или Как создают нации

Перед вами – яркий и необычный политический портрет одного из крупнейших в мире государственных деятелей, созданный Томом Плейтом после двух дней напряженных конфиденциальных бесед, которые прошли в Сингапуре в июле 2009 г. В своей книге автор пытается ответить на вопрос: кто же такой на самом деле Ли Куан Ю, знаменитый азиатский политический мыслитель, строитель новой нации, воплотивший в жизнь главные принципы азиатского менталитета? Для широкого круга читателей.


Жизнь сэра Артура Конан Дойла. Человек, который был Шерлоком Холмсом

Уникальное издание, основанное на достоверном материале, почерпнутом автором из писем, дневников, записных книжек Артура Конан Дойла, а также из подлинных газетных публикаций и архивных документов. Вы узнаете множество малоизвестных фактов о жизни и творчестве писателя, о блестящем расследовании им реальных уголовных дел, а также о его знаменитом персонаже Шерлоке Холмсе, которого Конан Дойл не раз порывался «убить».


Русская книга о Марке Шагале. Том 2

Это издание подводит итог многолетних разысканий о Марке Шагале с целью собрать весь известный материал (печатный, архивный, иллюстративный), относящийся к российским годам жизни художника и его связям с Россией. Книга не только обобщает большой объем предшествующих исследований и публикаций, но и вводит в научный оборот значительный корпус новых документов, позволяющих прояснить важные факты и обстоятельства шагаловской биографии. Таковы, к примеру, сведения о родословии и семье художника, свод документов о его деятельности на посту комиссара по делам искусств в революционном Витебске, дипломатическая переписка по поводу его визита в Москву и Ленинград в 1973 году, и в особой мере его обширная переписка с русскоязычными корреспондентами.


Дуэли Лермонтова. Дуэльный кодекс де Шатовильяра

Настоящие материалы подготовлены в связи с 200-летней годовщиной рождения великого русского поэта М. Ю. Лермонтова, которая празднуется в 2014 году. Условно книгу можно разделить на две части: первая часть содержит описание дуэлей Лермонтова, а вторая – краткие пояснения к впервые издаваемому на русском языке Дуэльному кодексу де Шатовильяра.


Скворцов-Степанов

Книга рассказывает о жизненном пути И. И. Скворцова-Степанова — одного из видных деятелей партии, друга и соратника В. И. Ленина, члена ЦК партии, ответственного редактора газеты «Известия». И. И. Скворцов-Степанов был блестящим публицистом и видным ученым-марксистом, автором известных исторических, экономических и философских исследований, переводчиком многих произведений К. Маркса и Ф. Энгельса на русский язык (в том числе «Капитала»).