Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - [20]
В данных обстоятельствах ∆u = 0 — это уравнение Лапласа, или уравнение непрерывности, выражающее, что идеальный флюид, в котором нет завихрений, неразрушим. Это уравнение математически кодирует прописную истину: если флюид несжимаем, из сколь угодно малого объема в момент времени должно выйти столько же жидкости, сколько ее содержится в нем. Однако французский математик и физик Пьер-Симон Лаплас (1749-1827) обнаружил его в небесной механике, изучая гравитационный потенциал, то есть функцию, измеряющую гравитационную силу, с которой тело — какой бы формы оно ни было — притягивает внешнюю точечную частицу. В результате это уравнение Лапласа также получило название уравнения потенциала. Как уже можно догадаться, один из гениальных вкладов Гильберта в анализ был связан со строгим решением этого уравнения в частных производных.
Уравнение волн, которое описывает распространение волн звука или света, а также физических волн, производимых колеблющейся струной или мембраной, следующее:
∂²u/∂t² = c²∆u .
В свою очередь, уравнение тепла, которое регулирует распространение тепла (то, как оно движется из зон, где температура выше, в зоны, где она ниже), соответствует следующему виду:
∂u/∂t = k∆u .
Оба уравнения кажутся обманчиво похожими, за исключением того, что в первом вместо первой производной появляется вторая производная относительно времени. Эта тонкая математическая разница имеет чрезвычайное значение для физики: уравнение волн обратимо — в том смысле, что оно остается неизменным, если мы изменим направление течения времени. Математически: если мы заменим t на -t, уравнение останется прежним, поскольку при двойном дифференцировании знаки отрицания взаимно уничтожаются. Следовательно, уравнение не упорядочивает решения с течением времени, в связи с чем можно восстановить информацию о прошлом (по этой причине мы используем световые или звуковые сигналы для общения). Уравнение тепла, наоборот, необратимо (если заменить t на -t, мы не получим то же самое уравнение). Распространение тепла ориентировано темпорально, оно зависит от оси времени. Эта необратимость проявляется в том, что уравнение упорядочивает решения стечением времени, поэтому обычно невозможно восстановить информацию о прошлом (решение, соответствующее пику тепла, в итоге смягчается таким образом, что через некоторое время невозможно узнать, где и как возник взрыв или пожар, поскольку тепло распространилось по всему пространству).
Одной из проблем уравнения Лапласа, которая не давала покоя математикам и физикам XIX века, была так называемая проблема Дирихле, названная в честь немецкого математика Петера Густава Лежёна Дирихле (1805-1859). Она состояла в том, чтобы найти гармоническую функцию в области пространства, то есть функцию u, удовлетворяющую уравнению Лапласа Δu = 0 в этой области пространства, при этом на границе области (см. рисунок 1) она принимает заданные значения (например, u = ƒ на границе). То есть если обозначить область как Ω и границу области как γ,
Δu = 0 в Ω
u = ƒ в γ
РИС. 1
В проблеме Дирихле ищут функцию и, которая принимает определенные значения на границе, и лапласиан, которой равен нулю внутри области.
Эта математическая проблема была связана со множеством физических проблем. Одна из них заключалась в ее решении. Представим себе упругую мембрану, равномерно растянутую над областью плоскости Ω, ограниченную кривой γ. Теперь предположим, что контур деформируется так, что каждая точка γ занимает некоторый уровень, заданный функцией ƒ. Естественно, вследствие деформации контура мембрана изогнется и начнет колебаться. Если позволить ей свободно колебаться, по истечении некоторого времени она достигнет равновесия, приняв некоторое положение (см. рисунок 2). Требуется вычислить величину деформации каждой точки внутри мембраны относительно плоскости, то есть высоту, которую сейчас занимает то, что переместилось. Функция u(х, у), измеряющая эти величины, соответствует проблеме Дирихле (в двух измерениях).
С точки зрения физики должна существовать функция u, являющаяся решением проблемы, кроме того, она должна быть единственной, поскольку рано или поздно мембрана остановится, и произойдет это единственным способом. Однако математически вопрос не настолько очевиден. В лекциях по данной теме Дирихле — как и Гаусс, Джордж Грин (1793-1841) и Уильям Томсон (1824-1907) — разработал метод решения проблемы и нахождения неизвестной функции и. Риман позже назвал этот метод принципом Дирихле.
Дирихле допустил, что в положении стабильного равновесия решение — функция u — должно обладать наименьшей энергией, то есть давать наименьшее значение для следующего интеграла {энергия Дирихле):
РИС. 2
Возможное положение равновесия мембраны через некоторое время.
Другими словами, функция, которую мы ищем, должна давать — в сравнении со всеми возможными функциями, определяющими то же самое граничное условие, — наименьшее возможное значение для энергии. На физических основаниях оказывается возможным, что при любой заданной замкнутой кривой в пространстве существует поверхность с наименьшей энергией, которая ее заполняет, поскольку любая поверхность или мембрана будет стремиться принять конфигурацию, требующую наименьшей энергии.
