Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - [22]

Данная уважаемая область анализа была видом продолжения анализа бесконечно малых. Если традиционный анализ показывал, как найти максимумы или минимумы функции, вариационное исчисление демонстрировало, как определить функцию, максимизирующую или минимизирующую определенный функционал, который обычно выражен в виде интеграла. Однако эта проблема оказалась намного сложнее, и в конце XIX века еще нельзя было определить ряд критериев, гарантировавших существование экстремума (максимума или минимума). Таким образом, неудивительно, что вариационное исчисление касается 3 из 23 проблем Гильберта.

В то время как в проблеме 23 Гильберт задался вопросом о возможном обобщении вариационных методов, в проблемах 19 и 20 он озаботился свойствами и существованием решений проблем вариационного исчисления. Два вопроса оставались открытыми. Первый — существование или отсутствие решения (проблема 20), и второй — свойства, которым в случае своего существования это решение удовлетворяет. Если отбросить техническую оболочку, в проблеме 19 Гильберт спрашивал, должны ли физические проблемы, которые обычно позиционируются как проблемы вариационного исчисления (проблема Дирихле, например), всегда иметь решения с наилучшим поведением: всегда ли решения такие же плавные и регулярные, как аналитические функции (которые можно продифференцировать бесконечное число раз)? Эта проблема была решена в 1904 году российским математиком Сергеем Бернштейном (1880-1968) в его докторской диссертации (одним из руководителей которой был Гильберт). Бернштейн доказал, что решения уравнений в частных, интересовавших Гильберта производных (включая решения уравнения потенциала Лапласа), были, в случае их существования, регулярными, с идеальным поведением, если они удовлетворяли некоторым довольно простым условиям об их трех первых производных. Становилось очевидным, что, например, если интеграл Дирихле достигал своего минимума, то происходило это обязательно в допустимой функции.

Но в том же 1904 году Гильберт удивил математический мир, восстановив доверие к принципу Дирихле, которое тот утратил после критики Вейерштрасса. До Вейерштрасса предполагалось, что в вариационном исчислении у любого функционала есть минимум. Гильберт доказал, что в конкретном случае энергии ДирихлеJ(u) действительно есть минимум. Он построил минимизирующую последовательность функций, значения которой для интеграла были каждый раз все более низкими и сходились к наименьшему значению. И на ее основе он получил минимум, то есть функцию и_у которая де факто достигала этого наименьшего значения. Физики и математики могли вздохнуть с облегчением.

НАУКА НА РАСПУТЬЕ

В конце XIX века физики работали в рамках совместного опыта. Классическая механика (созданная Ньютоном) и классическая электродинамика (завершенная Максвеллом) предоставляли абсолютно удовлетворительный для понимания окружающего нас мира материал. С увеличением точности измерительных приборов и возможности осуществлять все более сложные эксперименты физики начали изучать явления в не самых привычных условиях: при очень высоких скоростях (близких к скорости света) и на макрокосмическом или микроскопическом уровне. Именно тогда стали возникать расхождения с прогнозами, которые давала классическая физика, что привело к пересмотру ее оснований и породило две великие физические теории прошлого века: теорию относительности и квантовую теорию. Первая ставила своей целью объяснить явления, происходящие при высоких скоростях (специальная теория относительности) и космических масштабах (общая теория относительности), вторая же изучала явления атомного масштаба (квантовая механика).

К 1900 году ясность классической физики скрывали всего четыре тучи — проблемы, которые она не могла объяснить: излучение черного тела, фотоэлектрический эффект, спектры химических элементов и эфирный ветер. Первые три проблемы дали дорогу квантовой, а последняя — релятивистской физике. Классический принцип относительности, обязанный своим рождением Галилею, не был способен дать объяснение некоторым электромагнитным явлениям, измеряемым интерферометром (эксперимент Майкельсона — Морли). В 1905 году Альберт Эйнштейн (1879-1955) заложил основы специальной теории относительности в своей статье «К электродинамике движущихся тел». Чтобы решить мнимое противоречие, которое проявлялось при изучении поведения уравнений Максвелла в трансформациях Галилея (не прибегая к гипотетическому эфирному ветру), Эйнштейн предложил поддержать теорию Максвелла, изменив механику Ньютона. Нужно было оставить трансформации Галилея, заменив их на трансформации Лоренца, и принять революционную гипотезу: инвариантность скорости света. Среди его выводов были следующие: отказ от эфира, относительность одновременности, сжатие пространства, замедление времени и так далее. Специальная теория относительности вмиг перечеркнула иллюзию об абсолюте пространства и времени классической физики.

Специальная теория относительности, хотя и была чрезвычайно дерзкой с позиции физики, не требовала математики, неизвестной на тот момент физикам и лежавшей в основе работ Пуанкаре и Хендрика Лоренца (1853-1928). В своем озарении Эйнштейн применил не очень требовательную математику. Однако некоторые физики и математики посчитали, что столь радикальные физические и философские идеи должны быть подкреплены новыми математическими формулировками. И здесь вступил в игру старый товарищ Гильберта, Герман Минковский.