Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - [13]

Тень Гильберта покрывает значительную часть математических дисциплин XX века. Когда 8 августа 1900 года он взошел на трибуну II Международного конгресса математиков и взял слово, он предвидел, с какими задачами столкнется математика, и свел их к 23 проблемам, чем решительно повлиял на развитие этой дисциплины. Он поднял завесу, скрывающую будущее математики.

Шел 1900 год, начинался новый век. Пока парижане спешили обежать все павильоны Всемирной выставки или поприсутствовать на Олимпийских играх, в Сорбонне, где проходил II Международный конгресс математиков, взял слово Давид Гильберт. Он намеревался говорить не о доказанном, а о том, что оставалось доказать. В тот момент он уже был одним из лучших математиков своего поколения и лидером математической школы в Гёттингене. И хотя эта лекция была прочитана не на пленарном заседании (поскольку Гильберт запоздал с отправкой темы и организаторам пришлось исключить ее из программы), она стала самым запоминающимся докладом на конгрессе.

Тридцативосьмилетний Давид Гильберт уже успел показать мощь своих идей. Совершив революцию в теории инвариантов и обратившись к абстракции, он вторгся в теорию чисел и аксиоматическую геометрию и создал работы, которые стали классическими в обеих дисциплинах. Осознавая себя одним из выдающихся математиков, он хотел показать свое проницательное комплексное видение этой науки. Мы можем представить себе нашего героя тем жарким днем 8 августа 1900 года. Высокий, худощавый, с аккуратной бородкой, в своих неизменных очках, он поднялся на кафедру и заговорил. Его основной целью было подчеркнуть, что двигатель прогресса математики — это решение задач, а также бросить вызов математикам XX века.

ГИЛЬБЕРТ ПРОТИВ ПУАНКАРЕ

Первый Международный конгресс математиков проходил в Цюрихе тремя годами ранее, в 1897 году. Со своей лекцией «Об отношениях между чистым анализом и математической физикой» французский математик Анри Пуанкаре стал «звездой» этого съезда и в результате возглавил организационный комитет. В Париже Гильберт хотел помериться силами с лидером французской математики. Как и Клейн, он стремился восстановить престиж немецких ученых, но долго сомневался в выборе средств и в итоге запоздал с выбором темы лекции.

В своей речи Пуанкаре изложил программу, обозначившую ориентиры развития математики. Целей в ней намечалось три: физическая (дать подходящие инструменты для изучения природы), философская (помочь философу углубиться в понятия числа, пространства и времени) и, наконец, эстетическая, сопоставимая с музыкой или живописью. Математика, отмечал он, имеет ценность сама по себе, а не только как средство, поскольку без теории стопорятся и практическое исследование, и прогресс. Идеальная ситуация, когда физическая и эстетическая цели совпадают. Пуанкаре стремился в деталях показать связь между чистой наукой и ее применением, между анализом и физикой.

В условиях этой прагматической обстановки был брошен вызов из 23 проблем математического будущего, сформулированных Гильбертом. Оба ученых были знакомы и восхищались друг другом, но их понимание математики очень разнилось. Немец отстаивал ценность чистой математики. Хотя последующие 20 лет его карьеры была связаны с физикой, он намеревался оспорить некоторые идеи своего французского коллеги. По привычке он посоветовался с Минковским, который через несколько месяцев после первого конгресса написал:

«Я перечитал лекцию Пуанкаре и вижу, что все его утверждения так пространны, что им нечего противопоставить [...]. Лучше попробуй заглянуть в будущее и перечислить проблемы, которыми математикам придется заниматься в дальнейшем. Так о твоей лекции будут говорить в последующие десятилетия. Но учти, что у пророчеств есть свои сложности».

Следуя совету, лекцию в Париже Гильберт начал с изящных вопросов:

«К каким целям будут стремиться лучшие математические умы следующих поколений? Какие новые методы и новые факты в обширной и богатой области математической мысли дадут нам ближайшие столетия?»

В основе его речи была переоценка чистой математики через проблемы, которые она сама перед собой ставит. В понимании Гильберта, пока математика предлагает обильное число проблем, она жива и развивается. Отсутствие же проблем говорит об истощении или исчезновении научного ответвления. Наука идет вперед посредством решения проблем. Но каковы характеристики хорошей математической проблемы? Прежде всего, ее должно быть легко сформулировать и объяснить, но сложно решить, хотя и не невозможно, чтобы не тратить силы попусту.

Гильберт воспользовался возможностью распространить свою веру в примат аксиоматического метода как механизма определения математических понятий. Когда для Пуанкаре интуитивная догадка и физические аналогии играли основную роль, для Гильберта таковой была чистая логика: строгость и простота. Последнюю треть XIX века он выводил новый математический метод, радикально отличающийся от привычного. Понятие об абстрактной структуре, включая множество, стало новой отправной точкой, новым способом дать определения — скрыто, через аксиомы. Также возникли новые методы доказательства, косвенные или экзистенциальные, и новые способы выражения, потребовавшие использования формальных языков. Это была революция, которая охватывала математику и была многим обязана немецкому ученому.