Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - [14]
В своей лекции Гильберт вновь вернулся к понятию математического существования: если можно доказать, что свойства, заданные понятию, никогда не приводят к противоречию, то это понятие существует математически. Утверждение было категоричным и шокировало многих его коллег. Он утверждал, что при исследовании оснований науки должна быть сформулирована система аксиом, которая содержала бы точное описание основных отношений между элементарными понятиями этой науки. Таким образом, сформулированные аксиомы стали бы одновременно определениями этих элементарных понятий, и ни одна рассматриваемая научная пропозиция не была бы истинной, если бы не выводилась из аксиом за конечное число логических шагов.
Кроме того, философски подводя к своему списку проблем, Гильберт спорил (как и Пуанкаре) с популярными в то время скептиками, вдохновленными физиологом Эмилем Дюбуа-Реймоном (1818-1896) и подхватившим его знамя физиком Пьером Дюгемом (1861-1916). По их мнению, наука подошла к своему пределу, и оставался некий блок вопросов, суть которых, согласно высказыванию Дюбуа-Реймона в 1872 году, «мы не знаем, мы не будем знать» («Ignoramus, ignorabimus!»). Гильберт же с оптимизмом заявлял, что любая математическая проблема решаема — в том смысле, что можно получить положительный или отрицательный ответ. В этом состояло одно из его самых прочных убеждений и мощный стимул для ежедневной работы:
«...ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus».
К сожалению, оказалось, что это не так. Как известно, эта идея в 30-е годы получила сильный удар.
Гильберт предложил 23 математические проблемы, но ввиду временных ограничений в своей лекции он упомянул только десять из них. Однако он предоставил присутствующим печатный вариант лекции, который сразу же был растиражирован в Германии и Франции. Разберем эти 23 проблемы (наиболее простые и понятные будут рассмотрены подробно).
Проблемы можно сгруппировать в несколько блоков в зависимости от предмета, к которому они относятся: основания математики (проблемы 1, 2, 3, 4 и 5) и математической физики (проблема 6), теория чисел (проблемы 7, 8, 9, 10 и 11), алгебра (12, 13, 14 и 17), геометрия (15, 16, и 18) и анализ (19, 20, 21, 22 и 23). Основания математики, геометрия и алгебра с различных углов зрения, теория чисел и анализ представлены в списке наряду с другими вопросами спорной классификации.
В первом блоке приведены проблемы оснований математики и физики.
1. Проблема континуума (см. главу 4). Доказать истинность или ложность знаменитой континуум-гипотезы Кантора: не существует подмножества на числовой прямой, кардинальное число которого (то есть его размер) находилось бы строго между кардинальном числом рациональных чисел и кардинальным числом действительных чисел. Поставив этот вопрос как первую математическую проблему будущего, Гильберт занял позицию абстрактной теории множеств в пику ее многочисленным врагам.
2. Проблема непротиворечивости аксиом арифметики. Этот вопрос был крайне важен, поскольку положительный ответ косвенно доказал бы непротиворечивость всей математики. В «Основаниях геометрии» Гильберт оставил эту проблему, но в 1920-е годы вернулся к ней уже как исследователь. К сожалению, в 1931 году австрийский логик Курт Гёдель доказал, что формально эта проблема неразрешима. Невозможно доказать непротиворечивость аксиом арифметики.
3. Равенство объема двух тетраэдров одинакового основания и высоты. В своей книге Гильберт озаботился определением понятия площади в плоскостной геометрии без использования анализа бесконечно малых (интегралов) и достиг успеха, охарактеризовав многоугольники одинаковой площади как равносоставленные (то есть состоящие из одного и того же числа одинаковых треугольников). Удастся ли сделать то же самое с понятием объема в пространственной геометрии? Удастся ли охарактеризовать многогранники одинакового объема как многогранники, которые могут быть разложены на одно и то же число равных тетраэдров? В 1902 году Макс Ден (1878-1952) ответил на эти вопросы отрицательно: существует два тетраэдра с одинаковым основанием и высотой (а значит, с одинаковым объемом), которые, однако, не являются равносоставленными. Невозможно разделить первый на конечное количество многогранных частей так, чтобы они могли быть собраны для получения второго. В то время как в двух измерениях было возможно определить площадь, не применяя анализ, в трех измерениях сложный процесс перехода к пределу, известный как чертова лестница, оказывался неизбежным и мешал определить понятие объема, не прибегая к анализу.
4. Проблема отрезка прямой как кратчайшего расстояния между двумя точками. Гильберт предлагает продолжить исследование различных возможных аксиоматических геометрий с учетом того, к какой группе аксиом может привести результат, позволяющий сделать вывод, что в любом треугольнике сумма двух его сторон всегда больше третьей, а следовательно, отрезок прямой — это кратчайший путь между двумя точками. Хотя эта проблема сформулирована слишком расплывчато, она стала более точной в области геометрии Римана, когда требуется построить все возможные расстояния так, чтобы обычные прямые линии оказались геодезическими (кратчайшими путями).
18+. В некоторых эссе цикла — есть обсценная лексика.«Когда я — Андрей Ангелов, — учился в 6 «Б» классе, то к нам в школу пришла Лошадь» (с).
У меня ведь нет иллюзий, что мои слова и мой пройденный путь вдохновят кого-то. И всё же мне хочется рассказать о том, что было… Что не сбылось, то стало самостоятельной историей, напитанной фантазиями, желаниями, ожиданиями. Иногда такие истории важнее случившегося, ведь то, что случилось, уже никогда не изменится, а несбывшееся останется навсегда живым организмом в нематериальном мире. Несбывшееся живёт и в памяти, и в мечтах, и в каких-то иных сферах, коим нет определения.
Патрис Лумумба стоял у истоков конголезской независимости. Больше того — он превратился в символ этой неподдельной и неурезанной независимости. Не будем забывать и то обстоятельство, что мир уже привык к выдающимся политикам Запада. Новая же Африка только начала выдвигать незаурядных государственных деятелей. Лумумба в отличие от многих африканских лидеров, получивших воспитание и образование в столицах колониальных держав, жил, учился и сложился как руководитель национально-освободительного движения в родном Конго, вотчине Бельгии, наиболее меркантильной из меркантильных буржуазных стран Запада.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
Данная книга не просто «мемуары», но — живая «хроника», записанная по горячим следам активным участником и одним из вдохновителей-организаторов событий 2014 года, что вошли в историю под наименованием «Русской весны в Новороссии». С. Моисеев свидетельствует: история творится не только через сильных мира, но и через незнаемое этого мира видимого. Своей книгой он дает возможность всем — сторонникам и противникам — разобраться в сути процессов, произошедших и продолжающихся в Новороссии и на общерусском пространстве в целом. При этом автор уверен: «переход через пропасть» — это не только о событиях Русской весны, но и о том, что каждый человек стоит перед пропастью, которую надо перейти в течении жизни.
Результаты Франко-прусской войны 1870–1871 года стали триумфальными для Германии и дипломатической победой Отто фон Бисмарка. Но как удалось ему добиться этого? Мориц Буш – автор этих дневников – безотлучно находился при Бисмарке семь месяцев войны в качестве личного секретаря и врача и ежедневно, методично, скрупулезно фиксировал на бумаге все увиденное и услышанное, подробно описывал сражения – и частные разговоры, высказывания самого Бисмарка и его коллег, друзей и врагов. В дневниках, бесценных благодаря множеству биографических подробностей и мелких политических и бытовых реалий, Бисмарк оживает перед читателем не только как государственный деятель и политик, но и как яркая, интересная личность.