Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - [14]

Шрифт
Интервал

В своей лекции Гильберт вновь вернулся к понятию математического существования: если можно доказать, что свойства, заданные понятию, никогда не приводят к противоречию, то это понятие существует математически. Утверждение было категоричным и шокировало многих его коллег. Он утверждал, что при исследовании оснований науки должна быть сформулирована система аксиом, которая содержала бы точное описание основных отношений между элементарными понятиями этой науки. Таким образом, сформулированные аксиомы стали бы одновременно определениями этих элементарных понятий, и ни одна рассматриваемая научная пропозиция не была бы истинной, если бы не выводилась из аксиом за конечное число логических шагов.

Кроме того, философски подводя к своему списку проблем, Гильберт спорил (как и Пуанкаре) с популярными в то время скептиками, вдохновленными физиологом Эмилем Дюбуа-Реймоном (1818-1896) и подхватившим его знамя физиком Пьером Дюгемом (1861-1916). По их мнению, наука подошла к своему пределу, и оставался некий блок вопросов, суть которых, согласно высказыванию Дюбуа-Реймона в 1872 году, «мы не знаем, мы не будем знать» («Ignoramus, ignorabimus!»). Гильберт же с оптимизмом заявлял, что любая математическая проблема решаема — в том смысле, что можно получить положительный или отрицательный ответ. В этом состояло одно из его самых прочных убеждений и мощный стимул для ежедневной работы:

«...ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus».

К сожалению, оказалось, что это не так. Как известно, эта идея в 30-е годы получила сильный удар.


ВЫЗОВ ГИЛЬБЕРТА

Гильберт предложил 23 математические проблемы, но ввиду временных ограничений в своей лекции он упомянул только десять из них. Однако он предоставил присутствующим печатный вариант лекции, который сразу же был растиражирован в Германии и Франции. Разберем эти 23 проблемы (наиболее простые и понятные будут рассмотрены подробно).

Проблемы можно сгруппировать в несколько блоков в зависимости от предмета, к которому они относятся: основания математики (проблемы 1, 2, 3, 4 и 5) и математической физики (проблема 6), теория чисел (проблемы 7, 8, 9, 10 и 11), алгебра (12, 13, 14 и 17), геометрия (15, 16, и 18) и анализ (19, 20, 21, 22 и 23). Основания математики, геометрия и алгебра с различных углов зрения, теория чисел и анализ представлены в списке наряду с другими вопросами спорной классификации.

В первом блоке приведены проблемы оснований математики и физики.

1. Проблема континуума (см. главу 4). Доказать истинность или ложность знаменитой континуум-гипотезы Кантора: не существует подмножества на числовой прямой, кардинальное число которого (то есть его размер) находилось бы строго между кардинальном числом рациональных чисел и кардинальным числом действительных чисел. Поставив этот вопрос как первую математическую проблему будущего, Гильберт занял позицию абстрактной теории множеств в пику ее многочисленным врагам.

2. Проблема непротиворечивости аксиом арифметики. Этот вопрос был крайне важен, поскольку положительный ответ косвенно доказал бы непротиворечивость всей математики. В «Основаниях геометрии» Гильберт оставил эту проблему, но в 1920-е годы вернулся к ней уже как исследователь. К сожалению, в 1931 году австрийский логик Курт Гёдель доказал, что формально эта проблема неразрешима. Невозможно доказать непротиворечивость аксиом арифметики.

3. Равенство объема двух тетраэдров одинакового основания и высоты. В своей книге Гильберт озаботился определением понятия площади в плоскостной геометрии без использования анализа бесконечно малых (интегралов) и достиг успеха, охарактеризовав многоугольники одинаковой площади как равносоставленные (то есть состоящие из одного и того же числа одинаковых треугольников). Удастся ли сделать то же самое с понятием объема в пространственной геометрии? Удастся ли охарактеризовать многогранники одинакового объема как многогранники, которые могут быть разложены на одно и то же число равных тетраэдров? В 1902 году Макс Ден (1878-1952) ответил на эти вопросы отрицательно: существует два тетраэдра с одинаковым основанием и высотой (а значит, с одинаковым объемом), которые, однако, не являются равносоставленными. Невозможно разделить первый на конечное количество многогранных частей так, чтобы они могли быть собраны для получения второго. В то время как в двух измерениях было возможно определить площадь, не применяя анализ, в трех измерениях сложный процесс перехода к пределу, известный как чертова лестница, оказывался неизбежным и мешал определить понятие объема, не прибегая к анализу.

4. Проблема отрезка прямой как кратчайшего расстояния между двумя точками. Гильберт предлагает продолжить исследование различных возможных аксиоматических геометрий с учетом того, к какой группе аксиом может привести результат, позволяющий сделать вывод, что в любом треугольнике сумма двух его сторон всегда больше третьей, а следовательно, отрезок прямой — это кратчайший путь между двумя точками. Хотя эта проблема сформулирована слишком расплывчато, она стала более точной в области геометрии Римана, когда требуется построить все возможные расстояния так, чтобы обычные прямые линии оказались геодезическими (кратчайшими путями).


Рекомендуем почитать
Русская книга о Марке Шагале. Том 2

Это издание подводит итог многолетних разысканий о Марке Шагале с целью собрать весь известный материал (печатный, архивный, иллюстративный), относящийся к российским годам жизни художника и его связям с Россией. Книга не только обобщает большой объем предшествующих исследований и публикаций, но и вводит в научный оборот значительный корпус новых документов, позволяющих прояснить важные факты и обстоятельства шагаловской биографии. Таковы, к примеру, сведения о родословии и семье художника, свод документов о его деятельности на посту комиссара по делам искусств в революционном Витебске, дипломатическая переписка по поводу его визита в Москву и Ленинград в 1973 году, и в особой мере его обширная переписка с русскоязычными корреспондентами.


Дуэли Лермонтова. Дуэльный кодекс де Шатовильяра

Настоящие материалы подготовлены в связи с 200-летней годовщиной рождения великого русского поэта М. Ю. Лермонтова, которая празднуется в 2014 году. Условно книгу можно разделить на две части: первая часть содержит описание дуэлей Лермонтова, а вторая – краткие пояснения к впервые издаваемому на русском языке Дуэльному кодексу де Шатовильяра.


Скворцов-Степанов

Книга рассказывает о жизненном пути И. И. Скворцова-Степанова — одного из видных деятелей партии, друга и соратника В. И. Ленина, члена ЦК партии, ответственного редактора газеты «Известия». И. И. Скворцов-Степанов был блестящим публицистом и видным ученым-марксистом, автором известных исторических, экономических и философских исследований, переводчиком многих произведений К. Маркса и Ф. Энгельса на русский язык (в том числе «Капитала»).


Страсть к успеху. Японское чудо

Один из самых преуспевающих предпринимателей Японии — Казуо Инамори делится в книге своими философскими воззрениями, следуя которым он живет и работает уже более трех десятилетий. Эта замечательная книга вселяет веру в бесконечные возможности человека. Она наполнена мудростью, помогающей преодолевать невзгоды и превращать мечты в реальность. Книга рассчитана на широкий круг читателей.


Джоан Роулинг. Неофициальная биография создательницы вселенной «Гарри Поттера»

Биография Джоан Роулинг, написанная итальянской исследовательницей ее жизни и творчества Мариной Ленти. Роулинг никогда не соглашалась на выпуск официальной биографии, поэтому и на родине писательницы их опубликовано немного. Вся информация почерпнута автором из заявлений, которые делала в средствах массовой информации в течение последних двадцати трех лет сама Роулинг либо те, кто с ней связан, а также из новостных публикаций про писательницу с тех пор, как она стала мировой знаменитостью. В книге есть одна выразительная особенность.


Ротшильды. История семьи

Имя банкирского дома Ротшильдов сегодня известно каждому. О Ротшильдах слагались легенды и ходили самые невероятные слухи, их изображали на карикатурах в виде пауков, опутавших земной шар. Люди, объединенные этой фамилией, до сих пор олицетворяют жизненный успех. В чем же секрет этого успеха? О становлении банкирского дома Ротшильдов и их продвижении к власти и могуществу рассказывает израильский историк, журналист Атекс Фрид, автор многочисленных научно-популярных статей.