Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - [15]

Шрифт
Интервал

Математический клуб Гёттингена, 1902 год. В центре Клейн, основатель клуба, справа от него Г ильберт.

Математик Герман Минковский в молодости. С Гильбертом их связывала крепкая дружба до самой смерти Минковского в 1909 году.

Гильберт и Кёте Ерош, на которой он женился в 1892 году.



5. Анализ понятия, введенного Софусом Ли (1842-1899) в отношении группы трансформаций, за исключением гипотезы о дифференцируемости функций, входящих в состав группы.

6. Математический подход к аксиомам физики. Гильберт был заинтересован в аксиоматизации различных областей физики (в особенности механики и вычисления вероятностей, которое в то время набирало силу как инструмент термодинамики), чтобы определить им формат, наподобие геометрии, ведь ее он считал практически эмпирической наукой. В решении этой проблемы уже наметился сдвиг благодаря физикам Эрнсту Маху (1838-1916) и Генриху Герцу, но математики ею еще не занимались. Программа аксиоматизации физики добилась (как станет ясно в следующей главе) определенных побед в первые десятилетия XX века.

В рамках блока теории чисел Гильберт выделил пять проблем.

7. Иррациональность и трансцендентность некоторых чисел. Трансцендентное число — это тип иррационального числа, которое не является корнем из какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. В противоположность ему алгебраическое число — это любое число, являющееся решением полиномиального уравнения с целыми коэффициентами. Поскольку было известно не так уж много трансцендентных чисел (кроме π и e), Гильберт сформулировал конкретный вопрос: если a — это алгебраическое число (отличное от 0 и 1), а b — иррациональное алгебраическое число, является ли а трансцендентным? Для Гильберта это было одной из самых сложных проблем в списке. Однако в 1934 году Александр Гельфонд (1906-1968) и Теодор Шнайдер (1911— 1988) доказали, что это так. В частности, √2>√2 является трансцендентным.

8. Изучение простых чисел. Здесь Гильберт поставил ряд вопросов, связанных с распределением простых чисел. Главный вопрос — без сомнения, знаменитая гипотеза Римана, в которой предполагалось, что некоторая функция, связанная с этими числами и называемая дзета- функцией Римана ζ(z), имеет все свои нули на прямой Re(z) = ½ комплексной плоскости, то есть все ее нули — комплексные числа с действительной частью, равной ½. На сегодняшний день она все еще не доказана, хотя с помощью компьютера было проверено, что первые 1,5 триллиона нулей выполняют эту гипотезу. Гильберт также упомянул гипотезу Гольдбаха (согласно которой любое четное число может быть выражено в виде суммы двух простых чисел), существование бесконечного числа простых чисел-близнецов (то есть простых чисел, разность между которыми равна 2) и так далее.

9. Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле.

10. Определение разрешимости диофантовых уравнений.

11. Исследование квадратичных форм с произвольными алгебраическими коэффициентами.

В блоке алгебры — следующие проблемы.

12. Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности.

13. Невозможность решения общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных.

14. Доказательство конечности некоторых полных систем функций.

17. Представление определенных форм в виде сумм квадратов.

В блоке геометрии...

15. Строгое обоснование исчислительной геометрии Германа Шуберта (1848-1911).


ДЕСЯТАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА

Это одна из значительных проблем, которая кажется простой, хотя это не так. Заключается она в поиске общего способа, позволившего бы выяснить, имеет ли диофантово уравнение целые решения или нет, без необходимости вычислять их. Диофантовы уравнения — это уравнения, в которых участвует только один многочлен с целыми коэффициентами и нужно найти все целые решения. Уравнения носят имя греческого математика Диофанта (III век), ими занимавшегося. В частности, знаменитое уравнение x>n+y>n=z>n последней теоремы Ферма — это диофантово уравнение (в 1995 году Эндрю Уайлсу (р. 1953) удалось доказать, что у этого уравнения нет целых решений, отличных от нуля, если п больше 2). Проблема оставалась открытой, пока в 1970 году теория чисел и математическая логика не объединились: советский математик Юрий Матиясевич (р. 1947), следуя идеям Мартина Дэвиса (р. 1928), Хилари Патнем (р. 1926) и Джулии Робинсон (1919-1985), смог доказать, что такого алгоритма не существует. Перенесшая операцию на сердце Джулия Робинсон на свой день рождения обычно загадывала желание: «Пусть кто-нибудь решит десятую проблему Гильберта. Я не успокоюсь, пока ответ не будет найден». Любопытно, что ее старшая сестра Констанс Рейд (1918-2010) написала лучшую биографию Давида Гильберта.


16. Исследование топологии алгебраических кривых и поверхностей, включая (как отсылку к работе Пуанкаре) изучение числа и формы предельных циклов, являющихся решениями некоторых дифференциальных уравнений.

Слева — замощение плоскости шестиугольниками. Справа — замощение пространства усеченными октаэдрами.


18. Построение пространства на основе конгруэнтных многогранников. Будучи одной из классических проблем математики, известная как проблема паркета или бордюра, она состоит в том, чтобы определить, сколькими различными способами можно целиком заполнить плоскость одинаковыми геометрическими фигурами. Гильберт расширил ее, рассмотрев возможность заполнения пространства конгруэнтными многогранниками (см. рисунок). Так что речь шла об обобщении уже произведенного исследования групп симметрии и замощений (многие из них представлены в мозаике архитектурного ансамбля Альгамбры) двумерной плоскости до случая трехмерного пространства. Промежуточные достижения в этой области пришлись на 1910 год и принадлежат Людвигу Бибербаху (1886-1982) — математику, который в итоге присоединился к нацистской партии и сместил Гильберта. Кроме того, в этот раздел Гильберт включил знаменитую гипотезу Кеплера: какое расположение шаров одного радиуса оставляет меньше всего свободного пространства? Решение Кеплера — расположить их подобно апельсинам в корзине, как совсем недавно продемонстрировал Томас Хейлс (р. 1958).


Рекомендуем почитать
Русская книга о Марке Шагале. Том 2

Это издание подводит итог многолетних разысканий о Марке Шагале с целью собрать весь известный материал (печатный, архивный, иллюстративный), относящийся к российским годам жизни художника и его связям с Россией. Книга не только обобщает большой объем предшествующих исследований и публикаций, но и вводит в научный оборот значительный корпус новых документов, позволяющих прояснить важные факты и обстоятельства шагаловской биографии. Таковы, к примеру, сведения о родословии и семье художника, свод документов о его деятельности на посту комиссара по делам искусств в революционном Витебске, дипломатическая переписка по поводу его визита в Москву и Ленинград в 1973 году, и в особой мере его обширная переписка с русскоязычными корреспондентами.


Дуэли Лермонтова. Дуэльный кодекс де Шатовильяра

Настоящие материалы подготовлены в связи с 200-летней годовщиной рождения великого русского поэта М. Ю. Лермонтова, которая празднуется в 2014 году. Условно книгу можно разделить на две части: первая часть содержит описание дуэлей Лермонтова, а вторая – краткие пояснения к впервые издаваемому на русском языке Дуэльному кодексу де Шатовильяра.


Скворцов-Степанов

Книга рассказывает о жизненном пути И. И. Скворцова-Степанова — одного из видных деятелей партии, друга и соратника В. И. Ленина, члена ЦК партии, ответственного редактора газеты «Известия». И. И. Скворцов-Степанов был блестящим публицистом и видным ученым-марксистом, автором известных исторических, экономических и философских исследований, переводчиком многих произведений К. Маркса и Ф. Энгельса на русский язык (в том числе «Капитала»).


Страсть к успеху. Японское чудо

Один из самых преуспевающих предпринимателей Японии — Казуо Инамори делится в книге своими философскими воззрениями, следуя которым он живет и работает уже более трех десятилетий. Эта замечательная книга вселяет веру в бесконечные возможности человека. Она наполнена мудростью, помогающей преодолевать невзгоды и превращать мечты в реальность. Книга рассчитана на широкий круг читателей.


Джоан Роулинг. Неофициальная биография создательницы вселенной «Гарри Поттера»

Биография Джоан Роулинг, написанная итальянской исследовательницей ее жизни и творчества Мариной Ленти. Роулинг никогда не соглашалась на выпуск официальной биографии, поэтому и на родине писательницы их опубликовано немного. Вся информация почерпнута автором из заявлений, которые делала в средствах массовой информации в течение последних двадцати трех лет сама Роулинг либо те, кто с ней связан, а также из новостных публикаций про писательницу с тех пор, как она стала мировой знаменитостью. В книге есть одна выразительная особенность.


Ротшильды. История семьи

Имя банкирского дома Ротшильдов сегодня известно каждому. О Ротшильдах слагались легенды и ходили самые невероятные слухи, их изображали на карикатурах в виде пауков, опутавших земной шар. Люди, объединенные этой фамилией, до сих пор олицетворяют жизненный успех. В чем же секрет этого успеха? О становлении банкирского дома Ротшильдов и их продвижении к власти и могуществу рассказывает израильский историк, журналист Атекс Фрид, автор многочисленных научно-популярных статей.