Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - [11]
Не исключено, что Гильберт не был близко знаком с аксиоматическими работами итальянской школы Пеано, зато он знал о достижениях немецкой школы — как в области геометрии (Паш), так и в области механики. Генрих Рудольф Герц (1857-1894) скончался в возрасте 37 лет, но за свою короткую жизнь он успел удивить современников как физик-экспериментатор (он открыл электромагнитные волны и фотоэлектрический эффект) и физик-теоретик. В 1894 году он опубликовал работу «Принципы механики, изложенные в новой связи», в которой аксиоматически изложил знания в этой области. К собственной аксиоматической системе у него имелось два требования: допустимость и корректность. Допустимость совпадает с непротиворечивостью, с отсутствием противоречий. А корректность — с полнотой, с возможностью доказать в рамках этой теории все, что является истинным в мире. Эти два понятия перекликаются с введенными Давидом Гильбертом.
Генрих Рудольф Герц, около 1893 года.
Следовательно, Гильберт свел непротиворечивость евклидовой геометрии к непротиворечивости арифметики, что на тот момент было чем-то само собой разумеющимся, хотя вскоре он признал: проблема остается открытой и имеет высокий приоритет (и вскоре мы в этом убедимся). Неевклидовы геометрии основывались на евклидовой, которая, в свою очередь, держалась на арифметике действительных чисел. Как во сне индийского мудреца, мир покоится на спинах слонов, а те стоят на спине черепахи. Ну а черепаха? Вопрос о непротиворечивости арифметики сразу же обрел остроту. В своей книге Гильберт этот вопрос не затронул, тем не менее он считал, что совместимость арифметических аксиом может быть доказана довольно просто (как же он ошибался!).
Наконец, третье требование, которое Гильберт выдвинул через несколько лет,— это, по возможности, полнота (хотя она едва намечена в «Основаниях»). Аксиоматическая система называется полной, если в рамках системы мы можем доказать все пропозиции, являющиеся истинными относительно объектов системы, то есть если ни одна из истин не избегает доказательства, если все истины доказуемы. Когда непротиворечивость убеждает нас в том, что все доказуемое верно («все теоремы — истины»), полнота гарантирует нам обратное: все истинное доказуемо («все истины — теоремы»). Если система аксиом, которую он предложил для евклидовой геометрии, была полной, она позволяла вывести все известные ныне и в будущем результаты евклидовой геометрии.
Не будем опережать события, но ответ на этот вопрос не был пустяком. В итоге Гильберт убедился, что любая аксиоматическая система, представляющая минимальный интерес, является неполной. В ней истинное не совпадает с доказуемым. Существуют истинные пропозиции, которые не могут быть доказаны. Данная парадоксальная ситуация напоминает положение следователя, который точно знает, кто убийца, но неспособен доказать это. К счастью, в 1951 году польский логик Альфред Тарский (1902-1983) выяснил, что элементарная версия евклидовой геометрии является полной — очевидно, что эта версия не содержит арифметики, поэтому не противоречит знаменитым теоремам о неполноте арифметики Курта Гёделя (1906-1978).
Подведем итог. Гильберт предъявлял своей геометрической аксиоматике три требования: независимость, непротиворечивость и полнота. Немецкий математик был убежден, что его аксиоматика минимальна, доказав, в частности, что аксиома параллельных прямых и аксиома Архимеда независимы от прочих. Кроме того, он частично разрешил задачу непротиворечивости, доказав относительную непротиворечивость геометрии арифметике. Таким образом были заложены основы, на которых можно аксиоматически изучать любую геометрию — евклидову или неевклидову, архимедову или неархимедову, — и показано, как можно вывести известные геометрические результаты в зависимости от того, какие группы аксиом приняты.
В письме, адресованном одному коллеге в 1829 году, Гаусс признавался, что в жизни не опубликует ничего по неевклидовой геометрии, так как опасается «криков беотийцев». Немецкий математик намекал на кантианцев, для которых евклидова геометрия была единственно возможной, поскольку единственность пространства предполагала единственность геометрии. Физическое пространство — математическая геометрия. Гаусс не отправил в печать результаты своих исследований, боясь скандала, поскольку открытие неевклидовых геометрий поставило бы под сомнение всю кантианскую философию. Если существует более одной логически мыслимой геометрии, задаваться вопросом об истинности определенной одной — все равно что выяснять, является ли десятичная система более истинной, чем двоичная, а декартова — более истинной, чем полярная. Относительность геометрии подчеркивала, в противовес идеям Канта, что пространство аморфно, и нет смысла спрашивать, какая геометрия истинна. Гаусс был не единственным математиком, испытывавшим антипатию к великому Канту. Георг Кантор признавался, что чтение его работ вызывает у него недомогание, и называл прусского мыслителя «софистом-филистером, который так мало знает о математике».
Как и у Гаусса, у Гильберта были свои позитивные и негативные моменты при взаимодействии с одним философом, которые были следствием идей, изложенных им в «Основаниях геометрии». Речь о логике и философе Готлобе Фреге (1848-1925). Этот угрюмый преподаватель Йенского университета считался отцом современной логики (см. главу 4), одним из самых упрямых защитников аксиоматического подхода Античности. Реакция Фреге на книгу Гильберта не заставила себя долго ждать. Так началась переписка, и так стало нарастать недопонимание.
Это издание подводит итог многолетних разысканий о Марке Шагале с целью собрать весь известный материал (печатный, архивный, иллюстративный), относящийся к российским годам жизни художника и его связям с Россией. Книга не только обобщает большой объем предшествующих исследований и публикаций, но и вводит в научный оборот значительный корпус новых документов, позволяющих прояснить важные факты и обстоятельства шагаловской биографии. Таковы, к примеру, сведения о родословии и семье художника, свод документов о его деятельности на посту комиссара по делам искусств в революционном Витебске, дипломатическая переписка по поводу его визита в Москву и Ленинград в 1973 году, и в особой мере его обширная переписка с русскоязычными корреспондентами.
Настоящие материалы подготовлены в связи с 200-летней годовщиной рождения великого русского поэта М. Ю. Лермонтова, которая празднуется в 2014 году. Условно книгу можно разделить на две части: первая часть содержит описание дуэлей Лермонтова, а вторая – краткие пояснения к впервые издаваемому на русском языке Дуэльному кодексу де Шатовильяра.
Книга рассказывает о жизненном пути И. И. Скворцова-Степанова — одного из видных деятелей партии, друга и соратника В. И. Ленина, члена ЦК партии, ответственного редактора газеты «Известия». И. И. Скворцов-Степанов был блестящим публицистом и видным ученым-марксистом, автором известных исторических, экономических и философских исследований, переводчиком многих произведений К. Маркса и Ф. Энгельса на русский язык (в том числе «Капитала»).
Один из самых преуспевающих предпринимателей Японии — Казуо Инамори делится в книге своими философскими воззрениями, следуя которым он живет и работает уже более трех десятилетий. Эта замечательная книга вселяет веру в бесконечные возможности человека. Она наполнена мудростью, помогающей преодолевать невзгоды и превращать мечты в реальность. Книга рассчитана на широкий круг читателей.
Биография Джоан Роулинг, написанная итальянской исследовательницей ее жизни и творчества Мариной Ленти. Роулинг никогда не соглашалась на выпуск официальной биографии, поэтому и на родине писательницы их опубликовано немного. Вся информация почерпнута автором из заявлений, которые делала в средствах массовой информации в течение последних двадцати трех лет сама Роулинг либо те, кто с ней связан, а также из новостных публикаций про писательницу с тех пор, как она стала мировой знаменитостью. В книге есть одна выразительная особенность.
Имя банкирского дома Ротшильдов сегодня известно каждому. О Ротшильдах слагались легенды и ходили самые невероятные слухи, их изображали на карикатурах в виде пауков, опутавших земной шар. Люди, объединенные этой фамилией, до сих пор олицетворяют жизненный успех. В чем же секрет этого успеха? О становлении банкирского дома Ротшильдов и их продвижении к власти и могуществу рассказывает израильский историк, журналист Атекс Фрид, автор многочисленных научно-популярных статей.