Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - [47]
Впрочем, если быть точным, то дела с ожиданием автобуса обстоят еще хуже. Измеряемый наблюдателем случайный отрезок времени между машинами статистически больше 1/λ, и вероятность длительного интервала выше, чем среднего. Такой парадокс мы уже встречали — это парадокс наблюдателя или инспектора.
Подведем итог. Приходя на остановку, нужно четко принять решение: ждать или идти пешком. Размышлять на тему: подождать еще или уже пойти — только обрекать себя на встречу с законом подлости. Ведь если вы, прождав 17 минут, плюнете и пойдете пешком, вас, весьма вероятно, обгонит долгожданный автобус, а то и два.
Несправедливость, к которой приводит парадокс инспектора, демонстрирует кривая Лоренца (рис. 6.21). Интересно, что она в случае экспоненциального распределения одинакова для любых интенсивностей. Таким образом, для всех пуассоновских процессов верно утверждение: половина общего времени наблюдения приходится на 20 % случаев, когда это очередное событие задерживается. К этому выводу можно прийти, увидев, что на кривой Лоренца 50 % общего времени приходится на 80 % интервалов, в оставшиеся 20 % попали длинные интервалы, поглощающие половину времени ожидания. Коэффициент Джини для экспоненциального распределения равен в точности 1/2.
Рис. 6.21. Кривая Лоренца для экспоненциального распределения не зависит от его параметра (интенсивности)
Глава 7. Прелести чужой очереди
Я размышляю о законах подлости, стоя в аэропорту в очереди на регистрацию пассажиров и оформление багажа. Хвост длинный, люди разные и заметные со всеми своими сумками, детьми или клетками. Сзади слышу ворчание: «Как обычно, наша очередь тормозит. Вон, гляди, тот усатый в кепке наравне с нами стоял, а теперь вон где… Вот ведь закон подлости!» Этот закон зовется наблюдением Этторе:
Что же это — психологический эффект или причуды математики?
Еще раз про пуассоновский процесс
Мы уже достаточно знаем о случайных процессах, чтобы немного проанализировать очередь, в которой стоим. За неимением других данных, разумно предположить, что выход из нее происходит по-пуассоновски: пассажиры подходят к стойке регистрации и проводят там какое-то время, не зависящее от времени обработки данных других пассажиров. Перемещение наблюдателя, стоящего в очереди, будет иметь вид монотонно изменяющейся ступенчатой линии, с одинаковыми шагами через случайные промежутки времени, подчиненные экспоненциальному распределению. Пара реализаций примеров пуассоновских процессов с одинаковой интенсивностью приведена на рис. 7.1. Обычно пуассоновский процесс накапливает события, и его изображение выглядит как «лесенка», растущая со временем. Но, стоя в очереди, мы заинтересованы в ее скорейшем уменьшении, так что шаги нашего процесса ведут вниз.
Рис. 7.1. Перемещения двух очередей как пуассоновских процессов с равной интенсивностью. То одна, то другая «вырывается вперед» на какое-то время
Разница двух одинаковых пуассоновских процессов — а именно ее наблюдает человек, скучающий в хвосте и исследующий соседнюю очередь, — представляет собой своеобразное случайное блуждание. В описанном нами случае величина отставания одной очереди от другой подчиняется распределению Скеллама. Для двух одинаковых очередей, пропускающих μ человек в единицу времени, вероятность отставания одной из них на k шагов равна:
P(k) = e>-2μ I>|k|(2μ),
где I>k(x) — встречавшаяся нам в предыдущей главе модифицированная функция Бесселя. Она возникла здесь не из-за круговой симметрии, а как результат сложения двух случайных величин, подчиняющихся распределению Пуассона.
Распределение Скеллама имеет симметричный колоколообразный вид (рис. 7.2), практически не отличимый от биномиального распределения. А раз так, мы уже готовы сделать некоторые качественные выводы, основываясь на опыте, полученном в предыдущей главе.
Рис. 7.2. Вероятность накопления разницы между двумя одинаковыми очередями со средней скоростью 5 шагов в минуту
Во-первых, расстояние между одновременно вставшими в одинаковые очереди людьми будет то увеличиваться, то уменьшаться, при этом станут образовываться характерные меандры с постоянно меняющейся длительностью. Во-вторых, из-за самоподобия случайного блуждания длительность меандров — как для коротких очередей, так и для длинных — окажется соизмеримой со временем стояния в очереди, и, значит, они будут заметны. А меандры — уже повод для недовольства. В-третьих, заранее неизвестно, какая очередь пройдет быстрее, ведь случайное блуждание равновероятно уходит как вверх, так и вниз. И наконец, четвертое заключение: очереди движутся независимо, то и дело опережая и нагоняя друг друга, но в среднем одинаково, и ожидаемая разница между ними стремится к нулю, однако разброс вокруг среднего со временем растет пропорционально квадратному корню из времени.
