Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - [49]
В этой главе мы будем исследовать неприятности и неожиданности, наблюдаемые в очередях, на примере очереди с λ = 30 чел./ч и μ = 34 чел./ч. В среднем новые клиенты будут поступать в нее с интервалом в 2 минуты, а обрабатываться оператором примерно за 1 минуту 45 секунд. Это похоже на очередь у стойки регистрации в аэропорту. На рисунке 7.4 показан пример того, как могут «жить» M/D/1- и M/M/1-очереди с такими параметрами.
Рис. 7.4. Динамика M/D/1 и M/M/1 очередей. Более темным цветом выделены траектории каждого седьмого клиента в очереди. Длина очереди склонна к своеобразным колебаниям: она «дышит», то удлиняясь, то сокращаясь, оставаясь при этом в стационарном состоянии
В стационарном состоянии длина M/M/1-очереди n описывается геометрическим распределением:
Мы встречали его в предыдущей главе, рассматривая простейшую несимметричную марковскую цепь. Зная это распределение, можно вычислить ожидаемую длину
Для нашего примера средняя длина очереди составит 7,5 человек. Время обслуживания клиента (сумма времени ожидания своей очереди и собственно времени работы с оператором) в M/M/1-очереди описывается экспоненциальным распределением с параметром μ − λ. Это приводит к значению среднего времени ожидания
Среднее время работы с каждым клиентом не превышает 2 минут, однако среднее время ожидания для нашего примера равно 15 минутам. Как видно, для стационарной M/M/1-очереди выполняется равенство:
λW = L.
Это и есть формула Литтла, которой мы воспользовались, стоя в очереди и от нечего делать занявшись подсчетами. Будучи очень простой, формула на удивление сильна: она выполняется для очень широкого класса очередей и в самых разных задачах. То, что в формулу Литтла входит только λ, а не μ, отражает основное свойство стабильной (устойчивой) очереди: она может задерживать клиентов, но не меняет их поток, который определяется значением λ. И даже если скорость работы оператора μ будет очень велика, среднее время ожидания все равно определяется входным потоком и уже скопившимся числом клиентов. А поскольку для устойчивых очередей λ<μ, мы получаем еще один закон подлости:
Важная характеристика очереди — время занятости оператора, или длительность непрерывных периодов времени, в которые он обслуживает клиентов. Обозначим это время B. Периоды занятости перемежаются периодами простоя, когда по какой-то причине клиентов в очереди не оказывается. Клиенты приходят, ждут и уходят, а оператор остается работать, поэтому разумно предположить, что B>W. В действительности ожидаемое, среднее время занятости для M/M/1-очередей равно среднему времени ожидания, то есть B=W. Уже не вполне интуитивно понятный результат, но и это еще не всё: при той же интенсивности труда среднее время обслуживания клиента может стать существенно больше среднего времени работы оператора! Вот это уже кажется парадоксом. Получается, оператор в среднем умудряется работать меньше, чем в среднем обслуживается клиент!
Как мы уже говорили, средние значения надо использовать осторожно. Объяснить этот парадокс и понять, что происходит в очереди, можно, привлекая дисперсию распределения времени обслуживания одного клиента p>out(t). Еще в 1930-е австрийскому математику Феликсу Поллачеку удалось в общем виде вычислить отношение W/B для произвольной M/G/1-очереди:
Здесь σ — дисперсия распределения p>out(t). В случае M/M/1-очереди σ = 1/μ, и это отношение равно 1. Но может случиться, что при том же значении среднего распределение p>out(t) будет иметь большую дисперсию, и тогда W окажется больше B. На рисунке 7.5 показан пример, в котором p>in(t) распределено экспоненциально с λ = 30 чел./ч, а p>out(t) описывается гамма-распределением, соответствующим интенсивности μ = 34 чел./ч с дисперсией σ = 2/μ.
Рис. 7.5. Распределения для периодов между появлением новых клиентов (сплошная линия — экспоненциальное распределение) и времени обслуживания одного клиента (пунктирная линия — гамма-распределение)
