Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - [44]
«Лила» и игра с бесконечностью
Характерную цикличность в случайном на первый взгляд процессе я наблюдал, принимая участие в игре «Лила» (рис. 6.14). Это разновидность игры «Лестницы и змеи», у которой, как говорят, древние индийские корни. Участники перемещают свои фишки (амулеты) согласно выпадающим числам на кубике, следуя переходам — «лестницам» или «стрелам», ведущим вперед, и «змеям», возвращающим игрока назад. Основной смысл заключается в философских и эзотерических толкованиях траектории, которую проходит игрок. В нашей компании были опытные люди, они делились впечатлениями от прошлых игр и восхищались «явно неслучайными» совпадениями траекторий игры и реальной жизни, точному их повторению от партии к партии — как у одного и того же, так и у разных участников.
Рис. 6.14. Доска для игры «Лила»
В игре 72 состояния, и правила бросания кубика нетривиальны: они делают более вероятными близкие переходы, но допускают и далекие скачки; кроме того, «лестницы» и «змеи» добавляют путаницы. Действительно, в игре много элементов случайности, но она все равно остается марковской, поскольку ближайшее будущее игрока определяется только текущим его состоянием. А значит, сам процесс можно анализировать на предмет наличия в нем повторяющихся последовательностей или наиболее вероятных состояний.
Несложно написать программу, которая могла бы играть в «Лилу», не задумываясь о сокровенном смысле состояний и переходов, и которую можно было бы использовать в анализе методом Монте-Карло. Приведу для тех, кому, как и мне, любопытно поэкспериментировать, алгоритм для одного шага.
Переходы по лестницам и змеям могут быть описаны ассоциативным массивом
>Jumps = { 10:23, 16:4, 61:3, 20:32, 22:60, 24:7, 27:41, 28:50, 29:6, 37:66, 45:67, 46:62, 52:35, 54:68, 55:2, 61:3, 63:13, 72:51, 68:1 }
Вход: текущее состояние (номер клетки) s
>если (jumps содержит состояние s), вернуть jumps[s]
>m:= случайное целое число от 1 до 6
>если (m = 6), m:= m + случайное число от 1 до 6
>если (s > 60), m:= min(m,72-s)
>вернуть s + m
Вот что можно сказать после сотни тысяч партий. Средняя продолжительность игры (то есть достижения 68-й клетки) составляет 41,5 шага, при этом в половине партий игра закончится после 31 шагов. Это довольно много: учитывая, что шаги совершаются по очереди четырьмя-пятью участниками, игра может длиться несколько дней. Клетки посещаются неравновероятно, и разброс вероятностей достаточно велик.
Но любому математику интереснее не получить ответ из эксперимента, а вывести из свойств исследуемой системы. Мы рассмотрим матрицу переходов M для игры, она показана на рис. 6.15.
Рис. 6.15. Графическое представление матрицы переходов для «Лилы». Ненулевые элементы показаны кружками, размеры отражают их величину
Эта квадратная матрица имеет столько строк, сколько существует состояний (клеток) игры. Насыщенность цвета каждой клеточки показывает вероятность перехода с позиции, указанной по вертикали, на позицию по горизонтали. Стрелки приводят пример, соответствующий вероятности перехода с 40-й клетки на 50-ю. Широкая полоса вокруг диагонали соответствует переходам с помощью кубика, прочие отмеченные точки — прыжкам, диктуемым «стрелами» и «змеями». Игра имеет одно поглощающее состояние: достигнув ячейки 68, игрок заканчивает партию. Но пока мы это правило заменим другим: пусть игрок, попав в клетку 68, вновь начинает с первой позиции. Этот переход показан незакрашенным кружком на матрице. Позже я объясню, для чего нам потребовалось таким способом закольцевать игру.
Точные параметры можно получить не прибегая к методу Монте-Карло, а используя только матрицу переходов. Квадратные матрицы образуют алгебру: их можно по определенным правилам складывать и вычитать, умножать на число, перемножать и «делить» (умножать на обратную матрицу). Как и для чисел, многократное умножение матрицы на себя можно рассматривать как возведение в целочисленную степень. В случае с матрицей переходов для цепи Маркова возведение в степень n дает нам распределение вероятностей для всех переходов из клетки в клетку через n шагов. Так мы получаем своего рода «машину времени», способную мгновенно переместить нас в будущее. Вот как выглядят матрицы переходов игры «Лила» после 2, 3, 10 и, как это ни странно звучит, бесконечного числа умножений (рис. 6.16).
Рис. 6.16. Матрицы переходов, возведенные в степени 2, 4, 10 и ∞
Необычно видеть что-то конечное и нетривиальное, возведенное в бесконечную степень. Привычные для нас вещественные числа (положительные) при возведении в большие степени либо увеличиваются до бесконечности, либо стремятся к нулю, и только числа 0 и 1 не изменяются.
Матрицы существенно раздвигают горизонты математического сознания, порождая необычные, порой причудливые, но полезные алгебраические системы[26]. Матрица переходов относится к классу стохастических, их характеризует то, что сумма элементов любой их строки равна единице. Это связано с тем, что каждая строка соответствует какому-то состоянию системы, а ее элементы — вероятностям перехода из этого состояния в другие. Рассматриваются все возможные варианты переходов, поэтому сумма всех вероятностей равна единице. Возведение стохастической матрицы в целочисленную степень оставляет ее стохастической. В пределе же мы получили матрицу, которая не изменяется при умножении на саму себя:
