Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни [заметки]

1

Блох А. Закон Мёрфи. — Мн.: Попурри, 2005.

2

Первоисточником закона Мёрфи была не книга Блоха. В ней собраны многочисленные его следствия, но сам закон появился раньше. Блох приписывает его Эдварду Мёрфи, инженеру Лаборатории реактивного движения, так сформулировавшему закономерность в 1949 году: «Если что-то можно сделать неправильно, он так и сделает» (If there is any way to do it wrong, he will). В книге Анны Роу 1952 года формулировка «закона Мёрфи, или четвертого начала термодинамики» звучит так: «Если что-то может пойти не так, это пойдет не так» (If anything can go wrong it will), и она приписывается безымянному физику. Как позже установлено, это был физик Ховард Перси Робертсон, который дал интервью Роу в 1949 году. Однако близкие по смыслу формулировки существовали намного раньше. Например, в 1877 году британский инженер Альфред Холт писал: «Установлено, что, если что-нибудь может в море пойти неправильно, это рано или поздно пойдет неправильно» (It is found that anything that can go wrong at sea generally does go wrong sooner or later).

3

Raymer D. M., Smith D. E. Spontaneous knotting of an agitated string // PNAS. October 16, 2007. Vol. 104. No. 42. Pp. 162–167.

4

Полагаю, читатель знаком с понятием множества, а также с отношениями и операциями над множествами: пересечением, объединением и пр. Для понимания книги это не обязательно, но для понимания современной математики строго необходимо. Так что любопытного неофита я отсылаю к списку литературы в самом конце книги, а еще лучше — к преподавателю. Поверьте, если школьного учителя попросить растолковать вам, что такое множества и что с ними можно делать, вы оба получите удовольствие!

5

Подробнее о собственных масштабах и обезразмеривании задачи мы поговорим в главе 2, когда речь пойдет о бутербродах.

6

Издана на русском языке: Элленберг Дж.Как не ошибаться. Сила математического мышления. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2017.

7

Keller J. B. The probability of heads // American Mathematical Monthly. 1986. Vol. 93. Pp. 191–197.

8

Напомню, что рациональными называют дроби вида p/q, где p и q — целые числа.

9

Эти значения приняты с 20 мая 2019 года.

10

Matthews R. A. Tumbling toast, Murphy’s Law and the fundamental constants // European Journal of Physics. 1995. Vol. 16. No. 4. Pp. 172–176.

11

Действительно, 100 бросаний — это мало. А почему и по сравнению с чем мало, мы обсудим в следующей главе.

12

Сами по себе размерности образуют так называемую свободную абелеву группу, а размерные величины — локально тривиальное расслоение. Я не буду здесь расшифровывать, что означают эти термины: в двух словах это не получится. Пусть для заинтересованного читателя упоминание об алгебраических структурах будет указателем направления, с которого начинается настоящая математика.

13

Колебания в нашей задаче не гармонические и не синусоидальные, но это не мешает нам складывать такие гармоники. Заменой переменных можно привести их к традиционному для преобразований Фурье виду.

14

Надо признаться, что эта фраза, ставшая расхожей с легкой руки Марка Твена, не была произнесена Дизраэли, и вообще неясно, кто ее автор.

15

Earl N., Simmonds I. N., Tapper N. Weekly cycles in peak time temperatures and urban heat island intensity // Environ. Res. Lett. 2016. Vol. 11.

16

Bäumer D., Vogel B. An unexpected pattern of distinct weekly periodicities in climatological variables in Germany // Geophysical Research Letters. 2007. Vol. 34.

17

Издана на русском языке: Браст С. Исола. М.: АСТ, 2002.

18

Более того, критерию Поппера не удовлетворяют такие науки, как математика и логика; впрочем, их относят не к естественным наукам, а к формальным. Однако очень важно понимать, что принцип фальсифицируемости говорит не об истинности теории, а только о том, научна она или нет. Он помогает определить, дает ли некая теория язык, на котором имеет смысл рассуждать о мире, или нет.

19

Единственность нуля тоже нетривиальна и интересна. Если кто-то из читателей впервые об этом задумывается, то вот вам пища для размышлений: сколькими способами можно построить ноль и единицу в рациональных числах? И будут ли все эти способы соответствовать единственным нулю и единице?

20

Carlström J. Wheels — On Division by Zero. 2004 // Mathematical Structures in Computer Science. Cambridge University Press, 2011. Vol. 14. No. 1. Pp. 143–184.

21

Существует также версия (не подтвержденная), что на самом деле автор этой фразы — последний председатель правительства СССР Валентин Павлов. Прим. ред.

22

Gusev A. A. Multiscale order grouping in sequences of Earth’s earthquakes // Izvestiya, Phys. Solid Earth. 2005. Vol. 41. Pp. 798–812.

23

Издана на русском языке: Роуз Т.Долой среднее! Новый манифест индивидуальности. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2018. Прим. науч. ред.

24

Меандр в математике — замкнутая кривая без самопересечений, которая при этом пересекает прямую несколько раз. Прим. ред.

25

Граф — это еще одна универсальная математическая структура, пожалуй, наиболее общая из всех. Это абстракция структуры как таковой. Теория графов достойна отдельного большого разговора, поэтому я предупреждаю читателя, с ней не знакомого: во-первых, вы рано или поздно с ней обязательно познакомитесь, а во-вторых, получите удовольствие!

26

С помощью матриц изящно описываются такие полезные понятия, как комплексные числа, вращения, кватернионы, конечные группы и т. д.

27

Мы получили стационарное состояние в результате многократного умножения матрицы перехода. Это не универсальное свойство стохастических матриц. Если в игре есть безусловные циклы, то многократное перемножение может не дать какой-то одной предельной матрицы, хотя инвариант в этом случае отыскать возможно.

28

Более того, таким образом определяется операция умножения чисел на самом базовом уровне, так что это аксиома умножения, а не следствие из определения.

29

Сама идея цепи появилась при работе Андрея Андреевича Маркова над темой, как кажется, весьма далекой от математики: анализом сочетаний гласных и согласных звуков в тексте романа А. С. Пушкина «Евгений Онегин».

30

Параметры стационарной M/M/2-очереди можно рассчитать по общим формулам, которые я здесь не привожу из-за их громоздкости.

31

Cohen J. E., Horowitz P. Paradoxical behavior of mechanical and electrical networks // Nature. 1991. Vol. 352. Pp. 699–701.

32

Pala M., Sellier H. et al. A new transport phenomenon in nanostructures: a mesoscopic analog of the Braess paradox encountered in road networks // Nanoscale Research Letters. 2012. Vol. 7. P. 472.

33

Valiant G., Roughgarden T. Braess’s Paradox in large random graph // Random Structures & Algorithms. 2010. Vol. 37. Pp. 495–515.

34

Рекордной случайной величиной (или просто рекордом) в последовательности случайных величин называется величина, которая превосходит все предыдущие. Вероятность того, что среди n непрерывных случайных величин будет зарегистрировано k рекордов, описывается точно таким же выражением. Подробнее об этом можно прочесть в работе: Balakrishnan N., Nevzorov V. B. Stirling numbers and records // Advances in Combinatorial Methods and Applications to Probability and Statistics. Ed. N. Balakrishnan. Boston: Birkhauser, 1997. Pp. 189–200. Автор благодарит профессора Санкт-Петербургского государственного университета Валерия Борисовича Невзорова за любезно предоставленную информацию.

35

Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Издательство иностранной литературы, 1957.

36

«Магическое число» 4 возникает в сумме биномиальных коэффициентов из того обстоятельства, что любым четырем из этих n точек на окружности соответствует одна точка внутри круга, в которой должны пересечься соединяющие их отрезки. Далее вывод строится на знаменитой формуле Эйлера, связывающей число узлов и ребер некоторого планарного графа с числом областей, на которые он разбивает конечную область (например, сферу).

37

Guy R. K. The Strong Law of Small Numbers // Amer. Math. Monthly. 1988. Vol. 95.

38

Guy R. K. The Second Strong Law of Small Numbers // Mathematics Magazine. 1990. Vol. 63.

39

То, что сумма или разность нормально распределенных случайных величин тоже будет подчиняться нормальному распределению, называется устойчивостью этого распределения. О смысле и ценности этого понятия мы поговорим чуть позже.

40

Цит. по: Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М., 1977. Вып. 1, 2. С. 23–24.

41

Dragulescu A., Yakovenko V. M. Statistical mechanics of money // Eur. Phys. J. 2000. Vol. B 17. Pp. 723–729.

42

Ispolatov S., Krapivsky P. L., Redner S. Wealth Distributions in Models of Capital Exchange // Eur. Phys. J. B. 1998. Vol. 2. P. 267.