Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни [заметки]
1
Блох А. Закон Мёрфи. — Мн.: Попурри, 2005.
2
Первоисточником закона Мёрфи была не книга Блоха. В ней собраны многочисленные его следствия, но сам закон появился раньше. Блох приписывает его Эдварду Мёрфи, инженеру Лаборатории реактивного движения, так сформулировавшему закономерность в 1949 году: «Если что-то можно сделать неправильно, он так и сделает» (If there is any way to do it wrong, he will). В книге Анны Роу 1952 года формулировка «закона Мёрфи, или четвертого начала термодинамики» звучит так: «Если что-то может пойти не так, это пойдет не так» (If anything can go wrong it will), и она приписывается безымянному физику. Как позже установлено, это был физик Ховард Перси Робертсон, который дал интервью Роу в 1949 году. Однако близкие по смыслу формулировки существовали намного раньше. Например, в 1877 году британский инженер Альфред Холт писал: «Установлено, что, если что-нибудь может в море пойти неправильно, это рано или поздно пойдет неправильно» (It is found that anything that can go wrong at sea generally does go wrong sooner or later).
3
Raymer D. M., Smith D. E. Spontaneous knotting of an agitated string // PNAS. October 16, 2007. Vol. 104. No. 42. Pp. 162–167.
4
Полагаю, читатель знаком с понятием множества, а также с отношениями и операциями над множествами: пересечением, объединением и пр. Для понимания книги это не обязательно, но для понимания современной математики строго необходимо. Так что любопытного неофита я отсылаю к списку литературы в самом конце книги, а еще лучше — к преподавателю. Поверьте, если школьного учителя попросить растолковать вам, что такое множества и что с ними можно делать, вы оба получите удовольствие!
5
Подробнее о собственных масштабах и обезразмеривании задачи мы поговорим в главе 2, когда речь пойдет о бутербродах.
6
Издана на русском языке: Элленберг Дж.Как не ошибаться. Сила математического мышления. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2017.
7
Keller J. B. The probability of heads // American Mathematical Monthly. 1986. Vol. 93. Pp. 191–197.
8
Напомню, что рациональными называют дроби вида p/q, где p и q — целые числа.
9
Эти значения приняты с 20 мая 2019 года.
10
Matthews R. A. Tumbling toast, Murphy’s Law and the fundamental constants // European Journal of Physics. 1995. Vol. 16. No. 4. Pp. 172–176.
11
Действительно, 100 бросаний — это мало. А почему и по сравнению с чем мало, мы обсудим в следующей главе.
12
Сами по себе размерности образуют так называемую свободную абелеву группу, а размерные величины — локально тривиальное расслоение. Я не буду здесь расшифровывать, что означают эти термины: в двух словах это не получится. Пусть для заинтересованного читателя упоминание об алгебраических структурах будет указателем направления, с которого начинается настоящая математика.
13
Колебания в нашей задаче не гармонические и не синусоидальные, но это не мешает нам складывать такие гармоники. Заменой переменных можно привести их к традиционному для преобразований Фурье виду.
14
Надо признаться, что эта фраза, ставшая расхожей с легкой руки Марка Твена, не была произнесена Дизраэли, и вообще неясно, кто ее автор.
15
Earl N., Simmonds I. N., Tapper N. Weekly cycles in peak time temperatures and urban heat island intensity // Environ. Res. Lett. 2016. Vol. 11.
16
Bäumer D., Vogel B. An unexpected pattern of distinct weekly periodicities in climatological variables in Germany // Geophysical Research Letters. 2007. Vol. 34.
17
Издана на русском языке: Браст С. Исола. М.: АСТ, 2002.
18
Более того, критерию Поппера не удовлетворяют такие науки, как математика и логика; впрочем, их относят не к естественным наукам, а к формальным. Однако очень важно понимать, что принцип фальсифицируемости говорит не об истинности теории, а только о том, научна она или нет. Он помогает определить, дает ли некая теория язык, на котором имеет смысл рассуждать о мире, или нет.
19
Единственность нуля тоже нетривиальна и интересна. Если кто-то из читателей впервые об этом задумывается, то вот вам пища для размышлений: сколькими способами можно построить ноль и единицу в рациональных числах? И будут ли все эти способы соответствовать единственным нулю и единице?
20
Carlström J. Wheels — On Division by Zero. 2004 // Mathematical Structures in Computer Science. Cambridge University Press, 2011. Vol. 14. No. 1. Pp. 143–184.
21
Существует также версия (не подтвержденная), что на самом деле автор этой фразы — последний председатель правительства СССР Валентин Павлов. Прим. ред.
22
Gusev A. A. Multiscale order grouping in sequences of Earth’s earthquakes // Izvestiya, Phys. Solid Earth. 2005. Vol. 41. Pp. 798–812.
23
Издана на русском языке: Роуз Т.Долой среднее! Новый манифест индивидуальности. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2018. Прим. науч. ред.
24
Меандр в математике — замкнутая кривая без самопересечений, которая при этом пересекает прямую несколько раз. Прим. ред.
25
Граф — это еще одна универсальная математическая структура, пожалуй, наиболее общая из всех. Это абстракция структуры как таковой. Теория графов достойна отдельного большого разговора, поэтому я предупреждаю читателя, с ней не знакомого: во-первых, вы рано или поздно с ней обязательно познакомитесь, а во-вторых, получите удовольствие!
26
С помощью матриц изящно описываются такие полезные понятия, как комплексные числа, вращения, кватернионы, конечные группы и т. д.
27
Мы получили стационарное состояние в результате многократного умножения матрицы перехода. Это не универсальное свойство стохастических матриц. Если в игре есть безусловные циклы, то многократное перемножение может не дать какой-то одной предельной матрицы, хотя инвариант в этом случае отыскать возможно.
28
Более того, таким образом определяется операция умножения чисел на самом базовом уровне, так что это аксиома умножения, а не следствие из определения.
29
Сама идея цепи появилась при работе Андрея Андреевича Маркова над темой, как кажется, весьма далекой от математики: анализом сочетаний гласных и согласных звуков в тексте романа А. С. Пушкина «Евгений Онегин».
30
Параметры стационарной M/M/2-очереди можно рассчитать по общим формулам, которые я здесь не привожу из-за их громоздкости.
31
Cohen J. E., Horowitz P. Paradoxical behavior of mechanical and electrical networks // Nature. 1991. Vol. 352. Pp. 699–701.
32
Pala M., Sellier H. et al. A new transport phenomenon in nanostructures: a mesoscopic analog of the Braess paradox encountered in road networks // Nanoscale Research Letters. 2012. Vol. 7. P. 472.
33
Valiant G., Roughgarden T. Braess’s Paradox in large random graph // Random Structures & Algorithms. 2010. Vol. 37. Pp. 495–515.
34
Рекордной случайной величиной (или просто рекордом) в последовательности случайных величин называется величина, которая превосходит все предыдущие. Вероятность того, что среди n непрерывных случайных величин будет зарегистрировано k рекордов, описывается точно таким же выражением. Подробнее об этом можно прочесть в работе: Balakrishnan N., Nevzorov V. B. Stirling numbers and records // Advances in Combinatorial Methods and Applications to Probability and Statistics. Ed. N. Balakrishnan. Boston: Birkhauser, 1997. Pp. 189–200. Автор благодарит профессора Санкт-Петербургского государственного университета Валерия Борисовича Невзорова за любезно предоставленную информацию.
35
Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Издательство иностранной литературы, 1957.
36
«Магическое число» 4 возникает в сумме биномиальных коэффициентов из того обстоятельства, что любым четырем из этих n точек на окружности соответствует одна точка внутри круга, в которой должны пересечься соединяющие их отрезки. Далее вывод строится на знаменитой формуле Эйлера, связывающей число узлов и ребер некоторого планарного графа с числом областей, на которые он разбивает конечную область (например, сферу).
37
Guy R. K. The Strong Law of Small Numbers // Amer. Math. Monthly. 1988. Vol. 95.
38
Guy R. K. The Second Strong Law of Small Numbers // Mathematics Magazine. 1990. Vol. 63.
39
То, что сумма или разность нормально распределенных случайных величин тоже будет подчиняться нормальному распределению, называется устойчивостью этого распределения. О смысле и ценности этого понятия мы поговорим чуть позже.
40
Цит. по: Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М., 1977. Вып. 1, 2. С. 23–24.
41
Dragulescu A., Yakovenko V. M. Statistical mechanics of money // Eur. Phys. J. 2000. Vol. B 17. Pp. 723–729.
42
Ispolatov S., Krapivsky P. L., Redner S. Wealth Distributions in Models of Capital Exchange // Eur. Phys. J. B. 1998. Vol. 2. P. 267.
Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.
Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.
Наше здоровье зависит от того, что мы едим. Но как не ошибиться в выборе питания, если число предлагаемых «правильных» диет, как утверждают знающие люди, приближается к 30 тысячам? Люди шарахаются от одной диеты к другой, от вегетарианства к мясоедению, от монодиет к раздельному питанию. Каждый диетолог уверяет, что именно его система питания самая действенная: одни исходят из собственного взгляда на потребности нашего организма, другие опираются на религиозные традиции, третьи обращаются к древним источникам, четвертые видят панацею в восточной медицине… Виктор Конышев пытается разобраться во всем этом разнообразии и — не принимая сторону какой-либо диеты — дает читателю множество полезных советов, а попутно рассказывает, какова судьба съеденных нами генов, какую роль сыграло в эволюции голодание, для чего необходимо ощущать вкус пищи, что и как ели наши далекие предки и еще о многом другом…Виктор Конышев — доктор медицинских наук, диетолог, автор ряда книг о питании.Книга изготовлена в соответствии с Федеральным законом от 29 декабря 2010 г.
Исаак Ньютон возглавил научную революцию, которая в XVII веке охватила западный мир. Ее высшей точкой стала публикация в 1687 году «Математических начал натуральной философии». В этом труде Ньютон показал нам мир, управляемый тремя законами, которые отвечают за движение, и повсеместно действующей силой притяжения. Чтобы составить полное представление об этом уникальном ученом, к перечисленным фундаментальным открытиям необходимо добавить изобретение дифференциального и интегрального исчислений, а также формулировку основных законов оптики.
Петр Ильинский, уроженец С.-Петербурга, выпускник МГУ, много лет работал в Гарвардском университете, в настоящее время живет в Бостоне. Автор многочисленных научных статей, патентов, трех книг и нескольких десятков эссе на культурные, политические и исторические темы в печатной и интернет-прессе США, Европы и России. «Легенда о Вавилоне» — книга не только о более чем двухтысячелетней истории Вавилона и породившей его месопотамской цивилизации, но главным образом об отражении этой истории в библейских текстах и культурных образах, присущих как прошлому, так и настоящему.
Научно-популярный журнал «Открытия и гипотезы» представляет свежий взгляд на самые главные загадки вселенной и человечества, его проблемы и открытия. Никогда еще наука не была такой интересной. Представлены теоретические и практические материалы.
В книге рассказывается о том, как на протяжении нескольких столетий ученые пытались выяснить, почему ночью темно. Оказывается, этот вопрос связан с самым общим устройством нашей Вселенной — с тем, конечна она во времени и в пространстве или бесконечна, расширяется ли она на самом деле и из чего состоит. В книге подробно обсуждаются основные наблюдательные факты, лежащие в основе современной космологии, и история их открытия.Для всех, кто интересуется астрономией и космологией — от старшеклассников до специалистов в других областях науки.
Если вы сомневались, что вам может пригодиться математика, эта книга развеет ваши сомнения. Красота приведенных здесь 10 уравнений в том, что пронизывают все сферы жизни, будь то грамотные ставки, фильтрование значимой информации, точность прогнозов, степень влияния или эффективность рекламы. Если научиться вычленять из происходящего данные и математические модели, то вы начнете видеть взаимосвязи, словно на рентгене. Более того, вы сможете управлять процессами, которые другим кажутся хаотичными. В этом и есть смысл прикладной математики. На русском языке публикуется впервые.
Популяризатор науки мирового уровня Стивен Строгац предлагает обзор основных понятий матанализа и подробно рассказывает о том, как они используются в современной жизни. Автор отказывается от формул, заменяя их простыми графиками и иллюстрациями. Эта книга – не сухое, скучное чтение, которое пугает сложными теоретическими рассуждениями и формулами. В ней много примеров из реальной жизни, которые показывают, почему нам всем нужна математика. Отличная альтернатива стандартным учебникам. Книга будет полезна всем, кто интересуется историей науки и математики, а также тем, кто хочет понять, для чего им нужна (и нужна ли) математика. На русском языке публикуется впервые.
Если упражнения полезны, почему большинство их избегает? Если мы рождены бегать и ходить, почему мы стараемся как можно меньше двигаться? Действительно ли сидячий образ жизни — это новое курение? Убивает ли бег колени и что полезнее — кардио- или силовые тренировки? Дэниел Либерман, профессор эволюционной биологии из Гарварда и один из самых известных исследователей эволюции физической активности человека, рассказывает, как мы эволюционировали, бегая, гуляя, копая и делая другие — нередко вынужденные — «упражнения», а не занимаясь настоящими тренировками ради здоровья. Это увлекательная книга, после прочтения которой вы не только по-другому посмотрите на упражнения (а также на сон, бег, силовые тренировки, игры, драки, прогулки и даже танцы), но и поймете, что для борьбы с ожирением и диабетом недостаточно просто заниматься спортом.