Том 32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление - [9]
Слева — король Швеции и Норвегии Оскар II, справа — Магнус Геста Миттаг-Леффлер. Король-пифагореец и математик-платоник.
На конкурс короля Оскара II двенадцать математиков представили двенадцать работ. Всего в пяти из них рассматривалась задача трех тел, но ни в одной не приводилось требуемого решения в виде степенного ряда. В итоге 20 января 1889 года, за день до шестидесятилетнего юбилея монарха, уважаемое жюри, получив одобрение короля, объявило победителем Анри Пуанкаре за статью «О задаче трех тел и уравнениях движения»: «Эта статья не может считаться полным решением предложенной задачи, однако она столь важна, что ее публикация откроет новую эру в истории небесной механики».
Французская пресса сочла Пуанкаре едва ли не героем, его победа расценивалась как триумф французской математики над немецкой, которой традиционно отдавалось первенство.
Однако вскоре стало понятно: что-то пошло не так. Когда Миттаг-Леффлер опубликовал статью Пуанкаре, астроном Йохан Аугуст Гуго Полден, подобно Немезиде, вместе с Леопольдом Кронекером незамедлительно провозгласил, что эта работа ничем принципиально не отличается от более ранней его работы, опубликованной в 1887 году.
Ситуация обострилась еще больше, когда несколько месяцев спустя, в июле 1889-го, на Пуанкаре с градом вопросов обрушился Эдвард Фрагмен, редактор журнала Acta Mathematica, который хотел прояснить непонятные моменты объемной статьи перед публикацией. Эрмит неспроста писал: «В этой работе, как и почти во всех остальных, Пуанкаре только показывает путь, однако требуется приложить немало усилий, чтобы устранить лакуны и закончить его работу».
Кроме того, в конце ноября сам автор обнаружил в статье грубую ошибку, о чем сообщил Миттаг-Леффлеру в письме, датированном 1 декабря:
«Сегодня утром я написал Фрагмену, чтобы сообщить о допущенной мной ошибке, но я сомневаюсь, что он даст тебе прочесть мое письмо. Однако последствия этой ошибки намного серьезнее, чем я изначально предполагал. Двоякоасимптотические решения [сепаратрисы, проходящие через седло] не являются замкнутыми кривыми… следовательно, не являются периодическими решениями. Верно лишь то, что две составляющие этой кривой [две сепаратрисы] пересекаются бесконечное число раз. Не буду говорить, какое беспокойство причинило мне это неприятное открытие. В статью необходимо внести много изменений».
Это письмо, несомненно, поразило редактора журнала и организатора конкурса: признание Пуанкаре серьезно подорвало авторитет жюри и организаторов. Миттаг-Леффлер оказался в крайне затруднительном положении. Он попытался изъять из обращения уже напечатанные копии статьи и не придавать огласке ошибку Пуанкаре, чтобы не повредить репутации ученого. Весь тираж очередного номера престижного журнала Acta Mathematica пришлось уничтожить — сохранился единственный экземпляр номера, который сейчас хранится в сейфе в Институте Миттаг-Леффлера. Между тем всего за два месяца, то есть за декабрь 1889-го и январь 1890 года, Пуанкаре полностью исправил все ошибки в своей работе, отправил ее в печать и оплатил публикацию из своего кармана, так как еще до участия в конкурсе согласился покрыть все накладные расходы. Пуанкаре заплатил более 3500 шведских крон при том, что в качестве премии он получил всего 2500 крон.
Прекрасный пример интеллектуальной честности.
В чем же заключалась ошибка Пуанкаре? Французский математик заявил, что нашел бесконечное множество периодических решений задачи трех тел, но потом обнаружил, что некоторые эти решения не были периодическими, так как не описывали замкнутые кривые. Именно благодаря этой грубой ошибке Пуанкаре смог обнаружить, что двоякоасимптотические решения, сепаратрисы, проходящие через седловые точки (эти точки Пуанкаре называл гомоклиническими), определяли хаотические орбиты.
Рассмотрим эту ситуацию подробнее. Пуанкаре и Бендиксон смогли доказать свою теорему на плоскости, в двух измерениях. Так как траектории на фазовой плоскости не могут пересекаться, число корректных траекторий невелико. Как мы уже показали, существует всего пять основных видов траекторий: они могут приближаться к особой точке, удаляться от нее (для фокусов, узлов и седел) либо периодически вращаться вокруг центра или вблизи предельного цикла.
В задаче трех тел, движущихся под действием сил взаимного притяжения, рассматривается трехмерное пространство, которое допускает куда больше сочетаний и возможных случаев. В фазовом пространстве все обстоит намного сложнее: траектории необязательно должны пересекаться — достаточно, чтобы они переплетались между собой. На плоскости, в отличие от трехмерного пространства, траектории не могут сплетаться. Кроме того, если число измерений пространства больше двух, система может иметь аттракторы, которые будут весьма заметно отличаться от особых точек (фокусов) и предельных циклов. Как вы узнаете из следующей главы, в многомерных пространствах возникают так называемые странные аттракторы, которые, как правило, сопутствуют хаосу.
В трехмерном пространстве траектории-решения могут переплетаться между собой.
