Том 32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление - [7]

Когда новость о проведении конкурса была опубликована в журнале Acta Mathematica, 31-летний Пуанкаре уже был известен в мире математики, однако он не сразу согласился принять участие в конкурсе. Митгаг-Леффлеру пришлось отправить ему письмо, призывая подать на конкурс какую-либо работу. Пуанкаре ответил, что планирует рассмотреть задачу трех тел не затем, чтобы решить ее (это представлялось ему практически невозможным), а главным образом для того, чтобы получить новые важные результаты, достойные быть представленными жюри конкурса.

В конце концов воодушевленный Пуанкаре начал развивать свои идеи, касавшиеся качественной теории дифференциальных уравнений. Эту теорию Пуанкаре разработал в 1881–1885 годах и изложил в четырех статьях, важнейшая из которых носила название «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями». В этих работах были рассмотрены линейные и нелинейные дифференциальные уравнения не столько с количественной, сколько с качественной точки зрения (иными словами, он стремился найти не решения в явном виде, а описать их общую динамику и устойчивость), для чего обратился к недавно созданной дисциплине — топологии, которая в то время называлась анализом размещения (лат. analysis situs).

В отличие от Лагранжа, который хвастался тем, что его «Аналитическая механика» не содержала ни одной иллюстрации, Пуанкаре смело использовал геометрические методы.

Понимая невозможность решить большинство дифференциальных уравнений (для нелинейных уравнений метод возмущений не работал), Пуанкаре рассмотрел их геометрически. Начал он с того, что рассмотрел дифференциальное уравнение

где производная у по х равна отношению двух произвольных функций Р и Q. Ученый подробно изучил так называемые особые точки, то есть точки с координатами (х, у), в которых Р(х, у) = Q(x, у) = 0. Иными словами, особые точки — это точки, в которых производная у по х равна нулю, разделенному на ноль, то есть точки, в которых возникает неопределенность, ведь операция деления на 0 не имеет смысла. Именно поэтому такие точки называются особыми.

* * *

РЕЗИНОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Топология — это раздел математики, изучающий исключительно форму и расположение геометрических объектов без учета их количественных свойств, в частности размеров. Например, схемы метро дают информацию о станциях и пересадках, но искажают расстояния. Важнейшую роль в развитии топологии сыграл Пуанкаре, благодаря которому она обрела популярность как «качественная геометрия». Предоставим слово самому Пуанкаре:

«Так называемый «анализ размещения», analysis situs, это целая доктрина, которая привлекала внимание крупнейших геометров и в которой одна за одной появилось несколько важных теорем. Отличие этих теорем от теорем классической геометрии в том, что они носят качественный характер и остаются корректными даже тогда, когда фигуры неумело срисует неопытный чертежник, исказив их пропорции и заменив прямые более или менее криволинейными отрезками».

Топологию часто сравнивают с геометрией резиновых лент: если бы геометрические фигуры были изготовлены из эластичной резины, их можно было бы превращать друг в друга. Так, с точки зрения топологии сфера и куб неразличимы, и не важно, что поверхность сферы гладкая, а куб имеет ребра. Говорят, что тополог — это математик, не способный отличить бублик от чашки кофе, так как его невнимательный взгляд замечает лишь то, что и чашка, и бублик имеют единственное отверстие (бублик — дырку, чашка — отверстие в ручке). Мы можем отличить бублик от апельсина, так как в бублике дырка есть, а в апельсине — нет. Но как мы отличили бы бублик от апельсина, если бы были совсем маленькими и жили на их поверхности? (Этот вопрос вовсе не так прост, ведь сферическая поверхность Земли кажется нам плоской.) Один из методов, позволяющий избавиться от сомнений, заключается в изучении группы Пуанкаре для нашего пространства. Допустим, что мы привязали собаку к крыльцу дома очень длинным резиновым поводком и оставили ее на несколько дней. Если мы живем на поверхности бублика, то, когда мы вернемся домой, поводок скорее всего будет натянут, так как собака наверняка пройдет через отверстие бублика. Если же мы живем на поверхности апельсина, то, когда мы вернемся, поводок будет висеть свободно, и мы сможем смотать его обратно.

Пуанкаре был автором знаменитой гипотезы, носящей его имя: «Является ли трехмерная сфера единственным трехмерным многообразием, на поверхности которого любая петля стягивается в точку?». Эта обобщенная гипотеза была доказана Фридманом для четырех измерений и Смэйлом — для большего числа измерений. Полное доказательство гипотезы Пуанкаре для трех измерений привел российский математик Григорий Перельман в 2003 году.

* * *

Далее Пуанкаре рассмотрел их с точки зрения топологии: он изучил поведение кривых, заданных дифференциальным уравнением, в окрестности этих точек, поскольку решения исходного дифференциального уравнения — это функции, которые можно представить на плоскости графически. Точнее говоря, для этих функций можно построить график в так называемой фазовой плоскости. Термин «фаза» изначально появился в электротехнике и обозначает состояние или место, в котором находится определенное решение. На фазовой плоскости изображается семейство кривых, которые описывают решения дифференциального уравнения. Эти кривые часто называются траекториями или, по аналогии с движением планет, орбитами.