Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - [13]

Легко показать, что если 2^Р — 1 является простым числом, то и р должно быть простым (или, что то же самое, если р не является простым, то и 2^Р  — 1 не будет простым). Этот результат, который уже был известен в то время, привел Мерсенна к вопросу: что произойдет, если число р, которое уже является простым, подставить в это выражение? В то время было также известно, что 2^Р — 1 является простым числом для значений р = 2, 3, 5, 7, 13, 17 и 19, но не для р = 11.

Прошло 100 лет, прежде чем Эйлеру удалось доказать, что 2³¹ — 1 является простым числом. В 1947 г. был наконец получен полный список: который показывает, что изначальный список Мерсенна содержал два неправильных числа, и в нем не хватало еще трех. Тем не менее эти числа продолжают называть «числами Мерсенна», и в настоящее время они играют важную роль в так называемых «тестах простоты» — алгоритмах, определяющих, является ли число простым.

р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 и 127,

Мерсенн изучал колебания струн и создал музыкальный строй, где октава делится на равные интервалы.

* * *

ЦЕНТР НАУЧНОЙ МЫСЛИ

Маленькая келья, в которой Мерсенн провел последние 30 лет жизни в монастыре «минимов» рядом с Пале-Рояль, стала средоточием европейской науки. Считалось даже, что сообщить Мерсенну о своем открытии было равносильно распространению публикации по всей Европе.

После его смерти в келье были обнаружены документы, подтверждающие, что Мерсенн поддерживал исследования и вел переписку с 78 респондентами, среди которых были такие известные ученые, как Торричелли, Декарт, Паскаль, Гассенди, Роберваль, Богран и Ферма.

* * *

Пьер де Ферма

Ферма (1601–1665) стал настоящей легендой в мире математики. Его открытия, особенно в области теории чисел, основателем которой он считается, снискали ему славу «князя математиков-любителей». Кроме того, он в совершенстве владел классическими языками, латинским и греческим, и большинством европейских языков, на которых говорили в то время.

Ферма был богат и знатен, что позволило ему в полной мере предаваться своей страсти к числам. Он родился в богатой семье, и его юридическое образование позволило ему получить должность представителя местных властей в Тулузе. Одним из требований к кандидату на этот пост был отказ от всех видов социальной деятельности, с тем чтобы избежать любых подозрений в коррупции. Ферма женился на Луизе де Лонг, дальней родственнице матери, и у них было трое детей. Старший, Клеман-Самуэль, позже издал работы отца, а две дочери Ферма стали монахинями.

Ферма почти никогда не путешествовал, только один раз он был в Париже, где по рекомендации влиятельного французского математика Пьера де Каркави (1600–1684) встретился в монастыре с отцом Мерсенном.

Некоторые люди любят выращивать цветы и тратят много времени на выведение новых сортов из семян, привезенных из дальних стран, или на создание гибридов, которые иногда приносят приятные сюрпризы. Ферма выводил новые сорта чисел.

Однажды утром он словно по мановению волшебной палочки мог открыть новый вид чисел, что для обычных людей казалось магией. В отличие от других математиков, которые скрывали результаты своей работы, Ферма делился ими со всеми, хотя почти никогда не объяснял, как он их получил. Утверждение, что «любое число вида 4n + 1 является суммой двух квадратов», было, например, одним из многих результатов, которые Ферма так и не объяснил, и только Эйлер в 1749 г. доказал этот факт после семи лет напряженной работы. Гаусс как-то сказал, что этот результат был «одним из самых красивых цветков, которые Ферма обнаружил в саду чисел».

Малая теорема Ферма

В 1995 г. имя Ферма попало на первые полосы газет благодаря Эндрю Уайлсу, который доказал одну из самых знаменитых гипотез в истории: если n — целое число, большее 2 (n > 2), то не существует целых чисел х, у и z, отличных от 0 и удовлетворяющих уравнению

xⁿ  + yⁿ= zⁿ.

Это гипотеза известна также как «последняя теорема Ферма».

Однако существует и другая, менее известная теорема, называемая «малой теоремой Ферма», которая оказалась особенно актуальной в теории простых чисел. Впервые она была сформулирована в письме, отправленном Ферма 18 октября 1640 г. своему другу, тоже математику-любителю, Бернару Френиклю де Бесси (1605–1675), с которым Ферма делился своими результатами (оба были членами кружка Мерсенна). В письме говорилось: «Каждое простое число эквивалентно степени минус один с любым основанием и показателем, равным данному простому числу минус один… И это утверждение, как правило, справедливо для всех оснований и всех простых чисел. Я бы Вам прислал доказательство, если бы оно не было таким длинным».

Последняя теорема Ферма была доказана в 1995 г. английским математиком Эндрю Уайлсом. Два года спустя он опубликовал предварительное доказательство, где, однако, была ошибка, которую он впоследствии смог исправить.

Ферма снова опускает доказательство, оправдывая это тем, что оно слишком длинное, как и в случае с его более знаменитой последней теоремой. Большинство историков считают, что, скорее всего, великий математик не имел доказательства этих и многих других высказанных им утверждений. Во всяком случае, Ферма считал себя математиком-любителем и мог позволить себе некоторую свободу.