Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - [15]

Банкнота 10 швейцарских франков 1997 г. выпуска с портретом Эйлера и изображениями гидравлической турбины, солнечной системы и света, проходящего через линзу. Все это иллюстрирует вклад Эйлера в математику.

Эйлер всегда проявлял особый интерес к простым числам. Он составил таблицу всех простых чисел от 1 до 100 000 и нашел формулы, которые позволяли ему получать невероятные количества таких чисел. Одной из наиболее интересных является следующая формула:

х²+ х + q,

которая генерирует простые числа для любых значений х, больших 0 и меньших q — 2.

Эйлер нашел все такие простые числа для q = 2, 3, 5, 7, 11 и 17. В то время математика была экспериментальной, ее целью было получение практических результатов, поэтому строгие доказательства часто отсутствовали. Однако в отличие от Ферма Эйлер не скрывал своей работы. Если у него было доказательство, он публиковал его, а если факт приводился без доказательства, значит, оно не было найдено.

Работы Эйлера привели к важным изменениям в мире математики, вызвав медленный, но неумолимый сдвиг научной мысли. Среди многочисленных достижений Эйлера есть три, которые оказали решающее влияние на дальнейшие исследования в теории простых чисел: понятия функции, бесконечных сумм и мнимых величин.

Позже мы еще вернемся к ним.

Функции

Эйлер заложил основы того, что в последующие века будет называться математическим анализом. Именно он ввел обозначение функции, f(х), которое используется и в настоящее время. Функция работает как устройство, которое преобразует числа в другие числа в соответствии с установленным правилом. (Мы имеем в виду действительные функции действительного переменного.) Например, если правило гласит, что к каждому числу нужно прибавить определенное число, например, 3, то функция записывается следующим образом:

f(х) = x + 3.

Теперь функцию можно применить к любым значениям переменной:

f(1) = 1 + 3 = 4;

f(2) = 2 + 3 = 5;

f(24) = 24 + 3 = 27;

f(0,32) = 0,32 + 3 = 3,32.

Действительные функции действительного переменного ставят в соответствие каждому действительному числу другое действительное число. Например, функция f(x) = 2х + 1 каждое значение х увеличивает в два раза и прибавляет единицу. Составим таблицу значений этой функции:

Эта таблица позволяет построить график функции по вышеуказанным координатам точек:

Это очень простой график, он представляет из себя прямую линию, построить которую можно всего по двум точкам. С другой стороны, функция вида f(х) = х² будет иметь следующую таблицу значений:

И график этой функции уже не так легко построить:

Фактически, чем больше у нас точек, тем более точный график можно построить, но если выражение функции не является линейным, то есть если переменная х возводится в степень, большую единицы, графиком функции является кривая линия.

В некоторых случаях эта кривая известна, а в других она оказывается очень непредсказуемой и ее нельзя построить вручную. Одним из величайших достижений Эйлера является представление сложных функций в простых терминах.

Бесконечные суммы

Еще Эйлер для обозначения суммы, или «суммирования», ввел специальный символ, который используется и в современной математике. Это знак Σ — заглавная буква «сигма» греческого алфавита, а также первая буква слова «сумма».

Выражение суммирования записывается следующим образом:

Σⁱ⁼⁵_j=1i,

где есть переменная, в данном случае i, и индексы, показывающие, как эта переменная изменяется. В данном примере i изменяется от 1 до 5. Таким образом:

Σⁱ⁼⁵_j=1i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5;

Σⁱ⁼³_j=1(n + 1) = (1 + 1) + (2 + 1) + (3 + 1);

Σⁱ⁼⁴_j=1 n² = 1² + 2² + 3² + 4².

Обычно запись выражения упрощают, указывая в качестве верхнего индекса лишь последнее значение переменной:

Σ⁵_j=1 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5.

Это означает, что i меняется от 1 до 5.

Если верхний предел не является числом, то используется символ бесконечности, означающий, что сумма бесконечна. Например:

Хотя это может показаться странным, но существуют бесконечные суммы, результат которых является конечным числом. Ряды, имеющие такую сумму, называются сходящимися. Например, ряд

имеет конечную сумму, приблизительно равную 2. Так как члены ряда становятся все меньше и меньше, в какой-то момент каждый следующий член будет настолько мал, что его добавление ничего не изменит, и итоговая сумма будет конечным числом. Безусловно, это не совсем точное объяснение. Можно предположить, что ряд типа

также имеет конечную сумму, но это не так. Данный ряд, которым особенно интересовался Эйлер, называется гармоническим. Эйлер использовал его, чтобы получить еще одно доказательство бесконечности множества простых чисел.

* * *

БАЗЕЛЬСКАЯ ЗАДАЧА

БратьяЯкоб (1654–1705) и Иоганн (1667–1748)Бернулли занимались изучением гармонических рядов. Особенно активно они работали в период между 1689 и 1704 гг. Именно они доказали, что некоторые ряды расходятся. Воодушевленные результатами, они взялись за ряд обратных квадратов:

Якоб показал, что ряд сходится, и ему даже удалось доказать, что сумма ряда меньше или равна двум, но он не смог найти точное значение. Он так увлекся этой проблемой, что сказал: «Велика будет наша благодарность, если кто-нибудь найдет и сообщит нам о том, что до сих пор избегало нашего внимания». Эта проблема известна как «базельская задача», потому что Якоб заведовал кафедрой математики в университете швейцарского города Базеля, и именно там он произнес свои знаменитые слова.