Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии - [29]

+ v^->) и умножения произвольного числа k на вектор u^-> (k·u^->) вкупе с соблюдением некоторых свойств позволяет определить векторное пространство как множество векторов, обладающее определенными характеристиками. Векторное пространство является одним из основных понятий в математической биологии. Оно используется в изучении филогенеза, при классификации цепочек ДНК, в экологических моделях, при исследовании метаболизма или восприятия цветов, а также в других областях.

* * *

Если возникает необходимость определить вектор-строку, достаточно применить операцию транспонирования:

(u₁ u₂ … u_m).

Далее вы узнаете, как векторы используются в изучении локомоции (перемещения животных) и при анализе нейронных сетей.

Сложение векторов: сокращение мышц и локомоция

Один из самых интересных способов применения векторов — изучение локомоции животных. Кузнечики прыгают, люди могут поднимать тяжести руками, рыбы плавают, птицы летают. Понять механику этих движений помогают операции с векторами.

Если мы рассмотрим движение руки человека, один вектор можно будет сопоставить бицепсу (этот вектор будет обозначать силу сокращения мышц), второй вектор будет обозначать противодействующую силу, третий вектор — указывать вес объекта, который поднимает рука.

Сложение векторов также помогает понять функцию некоторых мускулов. Один из методов сложения векторов — это известное правило параллелограмма. Заключается оно в том, что нужно привести два вектора, сумму которых мы хотим найти, к общему началу. Затем на этих двух векторах нужно построить параллелограмм.

К примеру, если рассмотреть ногу человека и обозначить боковую часть четырехглавой мышцы бедра вектором F_L^->, а среднюю часть этой мышцы — вектором F_M^->, сумму этих векторов можно найти по правилу параллелограмма. Иными словами, сумма векторов F_L^-> + F_M^-> будет обозначать суммарную силу четырехглавой мышцы F^->.

Сумма векторов, соответствующих мышцам ноги, найденная по правилу параллелограмма.

Другой классический пример — сила F^->, с которой сокращаются мышцы-сгибатели предплечья. Если представить эту силу в виде вектора, то она будет равна сумме двух других векторов, соответствующих другим мышцам. Один из этих векторов, F_U^->, перпендикулярен предплечью, второй вектор, F_И^->, параллелен предплечью.

Сумма векторов, соответствующих мышцам руки, найденная по правилу параллелограмма.

Если векторов больше двух, их сумму можно найти по правилу многоугольника. Заключается оно в том, что конец каждого вектора совмещается с началом следующего. Суммой исходных векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, конец — с концом последнего вектора. Этот метод полезен при вычислении скорости движения корабля, полета птиц, перемещения пловца или рыбы.

В примерах с птицей или рыбой результирующая скорость будет равна сумме всего двух векторов. Но в силу особенностей задачи для сложения векторов используется не правило параллелограмма, а правило многоугольника.

Допустим, что рыба или птица движется в воде или в воздухе со скоростью, обозначаемой вектором V_A^->, V_M^-> — скорость течения воды (или ветра). Как следствие, вектор результирующей скорости V^-> будет равен сумме векторов V_A^-> и V_M^->, определяемой по правилу многоугольника.

Сумма векторов в примере с полетом птицы, найденная по правилу многоугольника.

Достаточно помнить, что во всех подобных примерах, если вы хотите найти результат как вектор-столбец, к примеру F^->, V^->:

нужно сложить векторы по тому же правилу, что и матрицы, то есть F_U^-> + F_И^->, F_L^-> + F_M^-> и V_A^-> + V_M^-> соответственно.

Умножение векторов и применение этой операции в нейронных сетях

Помимо сложения, существует множество способов применения других операций над векторами. Так, умножение векторов успешно используется в математических моделях, описывающих наиболее характерные функции мозга.

Когда мы говорили об операциях над матрицами, мы представили модель нейронной сети, основанную на произведении вектора и матрицы:

Нейронную сеть также можно представить в более простом виде:

M·u^-> = v^->.

В соответствии с вышесказанным, u^-> — вектор, представляющий слой входных, или афферентных, нейронов, вектор v^-> — слой выходных, или эфферентных нейронов.

М — матрица связей между нейронами этих двух слоев, также известная как матрица памяти. Это название указывает на то, что именно в связях между нейронами, синапсах, мозг хранит всю известную нам информацию.

Эту гипотезу выдвинул испанский исследователь Сантьяго Рамон-и-Кахаль, а позднее развил американский ученый Дональд Хебб. В настоящее время нейробиологи считают, что именно в связях между нейронами фиксируются черты лиц знакомых нам людей, очертания букв, чисел и многие другие образы.

Сантьяго Рамон-и-Кахаль (1852–1934) в лаборатории. Справа изображен один из его рисунков, описывающих нейронные сети.

Следовательно, если мы рассмотрим произвольную строку матрицы М как вектор-строку, описывающий связи между определенным выходным нейроном и всеми входными нейронами, то состояние этого выходного нейрона можно будет вычислить так, как мы объясняли в прошлой главе. Операция над векторами называется скалярным произведением. Рассмотрим два вектора: вектор-строку