Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии - [31]

Таким образом, мы смоделировали обучение — один из самых удивительных процессов, протекающих в мозгу человека и животных, и выразили биологическое значение этого процесса с помощью операции над векторами. Математическая модель обучения была представлена Мак-Каллоком и Питтсом в 1946 году. Впоследствии она стала основой для моделирования различных аспектов работы мозга с использованием элементарных нейронных сетей.

Векторное, или внешнее, произведение

Еще одной операцией умножения векторов является векторное произведение, которое также называется внешним произведением.

Объясним вычисление векторного произведения на примере тех же векторов, для которых мы рассчитывали скалярное произведение.

Даны вектор а^-> и вектор Ь^->. Их векторное произведение равно:

После необходимых действий результирующий вектор будет равен:

Обратите внимание, что мы обозначаем векторное произведение знаком X, чтобы отличить его от скалярного произведения. Более того, если скалярное произведение представляет собой число, то векторное произведение — это вектор. Еще одно различие заключается в том, что скалярное произведение а^->t·Ь^-> обозначает проекцию вектор-строки а^-> на вектор-столбец Ь^->, а векторное произведение а^-> х Ь^->t представляет собой вектор (обозначим его c^->), перпендикулярный плоскости, определяемой двумя исходными векторами.

Векторное произведение векторов а^->х Ь^->

Модуль нового вектора c^-> будет схож со скалярным произведением, однако его значение будет равно |а^->|·|Ь^->|·sin α. Модуль векторного произведения векторов будет равен площади построенного на них параллелограмма. Направление вектора c^-> определяется по известному правилу буравчика, или правилу правой руки.

В биологии векторное произведение используется при изучении молекул, играющих основную роль в поддержании жизни, к примеру таких белков, как миоглобин. Сюда же относится самая знаменитая из всех известных сегодня молекул — молекула ДНК. При их изучении биофизики используют классические понятия физики и измеряют величины, рассчитываемые как векторное произведение, к примеру дипольный момент — электромагнитную силу, действующую на частицу в магнитном поле.

Модель памяти животных и человека

Существует еще одна поистине замечательная операция — тензорное произведение, которое применяется в математических моделях нейронных сетей, описывающих память животных и человека. Представим, что вектор v^-> состоит только из единиц и нулей, то есть является двоичным вектором. Каждый из его элементов обозначает наличие (1) или отсутствие (0) той или иной характеристики некоторого объекта.

Если мы вычислим тензорное произведение v^->и v^->, то получим следующую матрицу:

Обратите внимание, какие действия мы выполнили, чтобы получить эту матрицу:

Несмотря на кажущуюся сложность, эта операция на самом деле проста. Мы получили матрицу памяти, обладающую свойством запоминать предмет, показанный нейронной сети. Она позволяет смоделировать на компьютере способность людей и животных запоминать различные объекты. Так как элементы матрицы обозначают связи между нейронами, в модели предполагается, что каждый нейрон связан со всеми другими нейронами. Как следствие, все элементы главной диагонали матрицы должны быть равны 0. Исправим значения элементов главной диагонали, равные 1:

Существуют математические методы, позволяющие восстановить объект, представленный матрицей, и смоделировать процесс вспоминания и распознавания образов.

* * *

СЕТЬ ХОПФИЛДА

Механизм обучения, запоминания букв, цифр и сигналов светофора можно смоделировать с помощью нейронной сети. Модель памяти, определяемая с помощью тензорного произведения, известна как сеть Хопфилда. Она названа в честь исследователя Джона Джозефа Хопфилда, который представил эту модель в 1980-е годы. Сегодня модель Хопфилда используется в самых разных цифровых системах: не только для решения множества физических задач, но и в электронике, и при обработке изображений.

Модель памяти Хопфилда из восьми нейронов. Каждый нейрон в этой модели связан со всеми остальными.

* * *

Решение систем уравнений. Эксперимент энтомолога

Обратные матрицы применяются также для решения систем уравнений. Рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

а₁₁х + а₁₂y + а₁₃z = b₁

а₂₁х + а₂₂y + а₂₃z = b₂

а₃₁х + а₃₂y + а₃₃z = b₃

Матрицы также используются для представления систем уравнений:

Это равенство равносильно следующему:

А·X = В.

Если мы найдем матрицу, обратную А, то есть А^-1, а затем умножим обе части равенства на эту обратную матрицу:

А^-1·А·Х = А^-1· В,

то, поскольку произведение А·А^-1 равно единичной матрице Е, имеем:

Е·Х = А^-1·В.

Кроме того, так как произведение любой матрицы на единичную матрицу Е равно исходной матрице, получим:

Х = А^-1·В.

Таким образом, решить систему уравнений, то есть определить значения х, у, z, можно с помощью обратной матрицы коэффициентов: нужно умножить ее на вектор-столбец свободных членов системы уравнений.

Продемонстрируем этот метод на примере под названием «эксперимент энтомолога». Допустим, что мы отправились в поле в поисках определенного вида насекомых и разместили ловушки там, где эти насекомые водятся. Спустя несколько дней мы вернулись к ловушкам, чтобы собрать насекомых. В лаборатории мы установили, что в ловушках оказалось 180 насекомых. Мы разделили их на молодых (обозначим их через х) и взрослых (