Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии - [22]
Палитра цветов программы Fractint
* * *
Этими свойствами обладают все фракталы, созданные математиками. Иными словами, фракталы, сгенерированные на компьютере, — это идеальные математические объекты, в отличие от неидеальных фракталов конечного размера, созданных природой. И все же красота и сложность фракталов в природе не перестают удивлять нас.
Снежинка (иллюстрация Уилсона Бентли) и соответствующий ей фрактал — снежинка Коха.
Множества Жюлиа и Мандельброта
Французский математик Гастон Жюлиа первым начал исследовать фракталы. Он сделал ряд важных открытий, однако умер в 1978 году, так и не став известным. Отчасти это объяснялось тем, что компьютеры в то время еще не могли изобразить всю красоту и кажущуюся сложность фракталов. Жизнь Жюлиа вообще сложилась непросто: в Первую мировую войну он был ранен в лицо и вынужден был всю жизнь скрывать его часть.
Фрактальное множество Жюлиа.
Рассмотрим функцию вида Z>n+1 = Z>n>2 + С, где Z — переменная, С — константа. Значение левой части этого выражения на итерации n + 1 равно квадрату переменной Z на предыдущей итерации, n, увеличенному на константу С. Само по себе это выражение не представляет особого интереса, если только переменная Z и константа С не являются комплексными числами. Именно этот случай и рассмотрел Жюлиа. Несколько лет спустя Бенуа Мандельброт также изучил этот класс итеративных выражений с помощью компьютера. В некотором роде Мандельброт продолжил исследование фракталов, начатое Гастоном Жюлиа, и внес огромный вклад в их популяризацию. В 1958 году Мандельброт начал работать в исследовательском центре IBM в США, где изучал возможности использования фракталов не только в физике, но и в других дисциплинах: гидродинамике или даже экономике. Именно он в 1975 году ввел термин «фрактал» для обозначения подобных объектов. Изучив множества Жюлиа с помощью компьютера, Мандельброт обнаружил множества, которые теперь носят его имя — множества Мандельброта.
Фрактал Мандельброта.
В 1982 году была опубликована книга Мандельброта под названием «Фрактальная геометрия природы», в которой он объяснил, как природа создает фрактальные формы (к примеру, линии побережий, горы, растения, кровеносные сосуды и легкие). На множествах Мандельброта рассматривается орбита точки 0. Ученый предложил изучить последовательные итерации выражения Z>n+1 = Z>n>2 + С для частного случая Z>0 = 0. Его идея заключалась в том, чтобы определить, каким в этих условиях будет множество значений С, для которых рассматриваемая орбита точки не будет уходить в бесконечность. Именно это множество значений и стало называться множеством Мандельброта. На множествах Жюлиа, напротив, комплексная константа С имеет фиксированное значение, для которого изучается поведение функции, орбита и значения Z>0, Z>1, Z>2… и т. д. Поскольку компьютер не может работать с комплексными числами, переменная и константа записываются в следующем виде:
Z = X + iY
С = р + iq,
а функция Z>n+1 = Z>n>2 + С раскладывается на вещественную часть X и мнимую часть Y.
Компьютер позволяет представить точки орбиты на комплексной плоскости, то есть в декартовой системе координат, и изобразить точки, для которых выражение √(x>2 + Y>2) меньше заданного значения и орбита которых не уходит в бесконечность. Эта орбита является границей множества точек, орбиты которых уходят в бесконечность, и это множество называется множеством Жюлиа.
Хаотические системы представляют собой разновидность динамических систем, что доказал преподаватель Технологического института Джорджии Майкл Барнсли, объяснявший теорию хаоса на примере математической игры под названием «Игра в хаос». Барнсли показал любопытную особенность хаотических систем: их беспорядочность была лишь кажущейся, и в конечном итоге в хаотической системе можно было увидеть одну и ту же фигуру. Эта фигура, очевидно, являлась аттрактором, в частности фракталом, однако проявлялась она только на поздних этапах моделирования. Напомним, что аттрактор — это не более чем точка или множество точек, к которым стремится или приближается динамическая система. «Игра в хаос» заключается в графическом представлении точек (х, у), которые описываются следующим матричным выражением:
Изначально расположение полученных точек будет казаться случайным. Но ближе к концу эксперимента, после того как мы изобразим достаточное их количество, всегда будет виден странный аттрактор — треугольник Серпинского.
Идея Барнсли была простой, элегантной и в то же время удивительной. Любая точка, которую мы изобразим в будущем, то есть в момент времени t + 1, будет иметь координаты (х>t + 1, y>t + 1). Они будут рассчитаны на основе координат (x>t, у>t) точки, которую мы изобразим в момент времени t. Обратите внимание, что здесь речь идет об отображении, схожем с логистическим отображением или уравнением Ферхюльста. О том, что такое матрицы и как они применяются в математической биологии, поговорим в следующей главе. Пока лишь укажем, что приведенное выше выражение можно преобразовать в два более привычных и определить координаты новой точки на основе следующих преобразований:
