Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии - [20]

Аттрактор Лоренца.

* * *

гистическое отображение. Вместо дифференциального уравнения Ферхюльста у' = r·y·(k — у) используется выражение у = r·y_n·(k — у_n), которое называется уравнением в конечных разностях. Напомним, что последнее выражение мы использовали в предыдущей главе, говоря об изучении хаоса.

В уравнениях в конечных разностях n обычно обозначает время t. Теперь, что очень важно, время является дискретным, то есть принимает конкретный набор фиксированных значений 0, 1, 2, 3, …, t, как на циферблате цифровых часов. Обратите внимание, что при использовании логистического отображения в компьютерном моделировании мы ограничиваемся тем, что вычисляем одно и то же выражение для множества значений. Иными словами, после того как выбраны значения k, r и начальный размер популяции, к примеру, бактерий, у(0), остается лишь вычислить значения у(1), у(2), у(3) и т. д. Для этого используется выражение:

y(t + 1) = r*y(t)*(k — y(t)),

где * — оператор умножения, используемый в языках программирования. Математики обычно говорят, что для заданных начальных условий у(0) последовательность значений у(1), у(2), у(3) и т. д. является орбитой точки у(0). Если вы хотя бы немного знакомы с программированием (на любом языке), то сможете убедиться, что программа для вычисления орбиты точки сводится к следующему набору операций:

_{‘начальные условия и параметры логистического отображения}

_{у(0): r: k}

_{‘максимальное время моделирования}

_tmax

_{‘уравнение в конечных разностях}

_{For t = 0 ТО tmax}

_{y(t + 1) = y(t + 1) = r*y(t)*(k — y(t))}

_{print t, y(t + 1)}

_End

Отличие этого метода от использования дифференциальных уравнений состоит в том, что интегрирование заменяется итерированием. Иными словами, нам больше не требуется вычислять интегралы — вместо этого мы снова и снова повторяем одни и те же математические операции. Повторные вычисления позволяют определить отображение. Так, экологи определяют будущее состояние системы y(t + 1), к примеру озера или пастбища, на основе текущего состояния y(t). Если повторить эти действия снова и снова, можно предсказать изменения, которые произойдут в системе.

Что произойдет с предыдущей программой, если вместо логистического отображения использовать уравнение Ферхюльста? В этом случае потребуется уже не итерировать, а интегрировать, о чем мы рассказали в предыдущей главе.

Интегрирование дифференциального уравнения можно выполнить разными методами, которые используются не только в экологии, физиологии и фармакологии, но и в экономике, химии и многих других науках, включая политологию. Методы интегрирования дифференциальных уравнений с помощью компьютера называются численными методами интегрирования. Самый простой и популярный из них метод Эйлера, однако более точным является метод Рунге — Кутты четвертого порядка. Любой из этих методов позволяет найти приближенные значения у(1), у(2), у(3) и т. д. Чтобы получить точные значения, нам потребовалось бы подставить в полученное выражение значения t = 1, 2, 3 и т. д. При использовании метода Эйлера программа будет выглядеть так:

 _{‘начальные условия и параметры уравнения Ферхюльста}

_{у(0): r: k}

 _{‘максимальное время моделирования}

_tmax

 _{‘увеличение времени}

_Inct

 _{‘дифференциальное уравнение}

_{For t = 0 ТО tmax}

 _{y(t + 1) = y(t) + Inct*(r*y(t)*(k — y(t)))}

_{print t, y(t + 1)}

 _End

Сразу видно, что решение дифференциального уравнения на компьютере по методу Эйлера заключается в том, чтобы предсказать будущее состояние системы у(t + 1) по текущему состоянию у(t), как если бы мы выполняли итерирование уравнения в конечных разностях. Сделаем оговорку: в итоговые вычисления мы включаем произведение времени, прошедшего между у(t + 1) и у(t), и выражения, которое является решением дифференциального уравнения. Можно убедиться, что выражение Эйлера не более чем уравнение прямой, угол наклона которой описывается дифференциальным уравнением. С помощью этой касательной прямой в точке можно предсказать будущее состояние или поведение системы у(t + 1) с большей точностью, чем при использовании разностных уравнений.

Помимо дифференциальных уравнений и отображений для моделирования динамических систем используются клеточные автоматы.

* * *

МАГИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

С древних времен человек чувствовал непреодолимое желание превзойти самого себя, и это стремление лежит в основе всевозможных изобретений в самых разных областях, однако особенно ярко творческие способности человека проявились в математике. В качестве примера приведем комплексные числа. Существует ли число, квадрат которого является отрицательным?

Существуют ли квадратные корни из отрицательных чисел? Утвердительный ответ на оба этих вопроса дали итальянские математики Джероламо Кардано и Рафаэль Бомбелли в середине XV века. Найденные ими числа названы мнимыми. С того времени из соображений удобства мнимая единица обозначается буквой i. Ее значение равно i = √—1 или, что аналогично, i² = -1. На основе мнимой единицы были определены так называемые комплексные числа. Ученые и инженеры используют их в самых разных областях с той же легкостью, с какой мы в повседневной жизни применяем 10, 23, 6, 1/2 и т. д. Комплексные числа состоят из двух частей — вещественной