Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика - [40]

Рассмотренную выше формулу суммы углов сферического треугольника можно обобщить для произвольной поверхности, что доказал Гаусс, связав изменение углов геодезического треугольника относительно π с кривизной Гаусса:

Формулу суммы углов треугольника на плоскости или на поверхности сферы можно обобщить для любой поверхности. Это так называемая формула Гаусса — Бонне, в которой используется кривизна Гаусса.

Разумеется, приведенная выше формула выполняется для сферы радиуса R. Так как кривизна Гаусса для этой сферы равна 1/R², имеем

Однако мы определили две кривизны, поэтому возникает вопрос: каков же смысл средней кривизны? Отношения поверхности и окружающего ее трехмерного пространства рассматриваются во внешней геометрии поверхности. Характеристикой кривизны поверхности в трехмерном пространстве и будет средняя кривизна.

Глобус земного шара

Составить точную карту Земли невозможно. Наиболее точное представление о нашей планете дает глобус, сохраняющий все интересующие нас метрические свойства с учетом коэффициента масштаба. Единственное искажение на глобусе — это коэффициент масштаба, неизменный во всех его точках. В этой модели мы смело можем прокладывать морские и воздушные маршруты, так как румбы и расстояния на глобусе сохраняются. Для определения расстояния между двумя точками земной поверхности, например между двумя городами, нужно построить на глобусе большой круг (это нетрудно сделать с помощью натянутой веревки), затем измерить длину веревки и, наконец, вычислить реальное расстояние с помощью коэффициента масштаба. Аналогично на глобусе можно измерить и другие величины, при этом результат будет точнее, чем при использовании плоской карты. Ошибки измерений на глобусе будут вызваны неточностями, допущенными при измерениях, а не погрешностями, внесенными при изготовлении самого глобуса (при условии, что он был построен правильно). Однако, как вы увидите далее, построить глобус сложно, и при этом все же возникают ошибки.

Современный глобус.

* * *

ИСТОРИЯ ГЛОБУСОВ

Первые глобусы создали греки, которым было известно, что Земля имеет сферическую форму. Первый глобус, о котором сохранились документальные упоминания, был сконструирован грамматиком и философом-стоиком Кратетом Малльским около 150 года до н. э. В то время Америка, Австралия и часть Африканского континента еще не были открыты, и на глобусе были изображены четыре части суши, из которых известной (ойкуменой) была всего одна. Глобусы Земли и звездного неба создавали и использовали греки, римляне и, позднее, арабы.

Первый глобус Земли, дошедший до наших дней, создал немецкий географ Мартин Бехайм в 1492 году. Эпоха Возрождения стала золотым веком в изготовлении глобусов. Немецкий картограф Мартин Вальдземюллер (ок. 1470 — ок. 1520) совершил прорыв в массовом изготовлении глобусов: он первым использовал отпечатанную развертку глобуса.

Факсимиле глобуса Вальдземюллера (1507).

Изучив глобусы, созданные в разное время, можно увидеть, как при их создании использовались все более совершенные технологии и новая географическая информация. Перелом в усовершенствовании процесса изготовления глобусов, а также в развитии научных теорий, связанных с задачей о построении точной карты, произошел благодаря фламандскому картографу Герарду Меркатору. Он стремился создать глобус, который могли бы использовать мореплаватели и студенты, изучающие навигацию, поэтому на глобусах Меркатора были изображены, в частности, локсодромы. Однако многие созданные им глобусы стали всего лишь изысканными предметами интерьера в домах знати.

КАК СКОНСТРУИРОВАТЬ ГЛОБУС?

Хотя сфера — это, по сути, единственное геометрическое тело, позволяющее точно представить земную поверхность, конструирование сферической модели Земли связано с рядом технических проблем. Первая из них — размер: глобусы слишком малы, чтобы на них можно было рассмотреть все детали. Так, если бы на поверхности глобуса был изображен рельеф земной поверхности в масштабе, то гора Эверест имела бы высоту всего 0,28 мм. Вторая проблема — выбор материала для изготовления основы глобуса. В древности глобусы были полнотелыми и изготавливались из стекла, мрамора, дерева или металлов (золота, серебра, бронзы или свинца), однако начиная с Меркатора картографы стали изготавливать полые глобусы, например из бумажно-гипсовой массы, нанесенной на деревянный каркас. Современные глобусы попрежнему полые, однако технологии их изготовления непрерывно совершенствуются. Сегодня их изготавливают из бумаги, пластика или металла.

Начиная с Вальдземюллера используются отпечатанные развертки глобусов в виде склеенных сферических двуугольников, которые затем наклеиваются на поверхность сферы. При этом возникает та же проблема, что и при составлении карт: на плоском листе бумаги нужно отпечатать изображение, которое затем будет нанесено на поверхность глобуса. Обычно развертка глобуса состоит из 12 сферических двуугольников, центры которых лежат на экваторе. Развертка выполняется в видоизмененной синусоидальной проекции. Сегодня чаще используют две развертки из 12 треугольных секторов, центры которых совпадают с одним из полюсов. Каждая развертка полностью покрывает полушарие. Современные технологии позволяют наносить сферические двуугольники сразу на материал основания глобуса.