Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика - [39]

Два важных элемента локального анализа поверхности — это плоскость, касающаяся поверхности в точке р, и нормальный вектор поверхности N(p), выходящий из точки р, перпендикулярный касательной плоскости.

Для этого рассмотрим плоскость, касающуюся поверхности S в точке р. Это плоскость, ближайшая к поверхности в указанной точке. Вектор, перпендикулярный касательной плоскости, исходящий из точки р, называется нормальным вектором (см. рисунок). Чтобы определить кривизну поверхности в данной точке, нужно изучить, как изменяется положение касательной плоскости (или нормального вектора) в окрестности этой точки. В математике этот процесс называется дифференцированием. Результатом операции будет математический объект под названием дифференциальная форма (мы не будем приводить здесь точного определения, так как интересующийся читатель найдет его в любой книге по дифференциальной геометрии), который содержит всю информацию о кривизне поверхности. На основе дифференциальной формы определяются две различные кривизны: так называемая кривизна Гаусса К и средняя кривизна Н.

Примеры поверхностей, на которых оттенками серого обозначены различные значения кривизны Гаусса и средней кривизны. Плоскость (К = Н = 0), цилиндр с радиусом основания r (К = 0; Н = 1/2r), сфера радиуса r (К = 1/r2, Н = -1/r), псевдосфера (К = -1; наибольшая средняя кривизна ближе к краю псевдосферы, на рисунке оттенками серого представлены значения средней кривизны), тор (на внешней части поверхности кривизна положительная, на внутренней — отрицательная; средняя кривизна для разных участков отличается, оттенками серого на рисунке представлены значения кривизны Гаусса); катеноид (Н = 0; оттенками серого представлены значения кривизны Гаусса), седловая поверхность (оттенками серого представлены значения кривизны Гаусса).

Есть и другой, возможно, более геометрический способ определить эти понятия: для данной точки р поверхности S, для которой мы хотим рассчитать кривизну, рассмотрим нормальный вектор N(р) и семейство плоскостей П(р)» проходящих через р и содержащих N(р). Для каждой плоскости семейства П(р) рассмотрим ее линию пересечения с поверхностью S. Этой линией будет кривая, проходящая через р. Измерим кривизну этой кривой в данной точке. Полученное значение и будет мерой кривизны кривой в точке. Таким образом мы получим ряд значений кривизны поверхности в точке р и сможем рассчитать кривизну поверхности. На множестве этих значений кривизны найдем максимальное значение k₁ и минимальное значение k₂ — так называемые главные кривизны, то есть максимальные и минимальные значения «направленной» кривизны поверхности в точке р. На их основе можно рассчитать кривизну Гаусса и среднюю кривизну:

Цилиндр и два основных его направления, кривизна которых равна k₁ = 1/r и k₂ = 0. Следовательно, К = 0, Н = 1/2.

Великий математик Карл Фридрих Гаусс в работе «Общие исследования кривых поверхностей» (1827) показал, что, вопреки определению, величина, впоследствии получившая название кривизны Гаусса, зависит исключительно от метрических свойств поверхности, то есть выступает неотъемлемым элементом геометрии этой поверхности. Это утверждение называется Theorema Egregium — основная теорема теории поверхностей. Как следствие, кривизна Гаусса описывает внутреннюю кривизну поверхности. Эту кривизну может ощутить наблюдатель, находящийся на плоскости и не выходящий за ее пределы. Следовательно, если две поверхности изометричны, то есть если существует изометрическое преобразование, позволяющее преобразовать одну из этих поверхностей в другую, то кривизна Гаусса должна быть одинаковой в точках, соответствующих по изометрии. Это утверждение справедливо и для части поверхности, то есть оно выполняется, если изометрическое преобразование можно определить только для какой-то части поверхности.

Таким образом, решение картографической задачи можно рассматривать как частный случай Teorema Egregium. Так как сфера имеет постоянную положительную кривизну Гаусса (для сферы единичного радиуса кривизна Гаусса равна 1; сфера искривлена во всех точках и вдоль всех направлений одинаково), а плоскость имеет нулевую кривизну, не существует изометрического преобразования (в том числе локального), позволяющего преобразовать сферу в плоскость.

Более того, в дифференциальной геометрии, которая носит более общий характер, чем математическая картография (в дифференциальной геометрии рассматриваются произвольные поверхности), в силу Teorema Egregium кривизна Гаусса препятствует построению изометрии двух поверхностей. Если использовать термины картографии, для построения карты одной поверхности на другой необходимо, чтобы кривизна Гаусса для обеих поверхностей была одинаковой. Ключевой вопрос, связанный с теоремой Гаусса, таков: является ли полученный нами результат не только необходимым, но и достаточным? Иными словами, будут ли изометричными, как минимум локально, две поверхности с одинаковой кривизной Гаусса? Российский математик немецкого происхождения Фердинанд Миндинг (1806–1885), который провел обширные исследования в области дифференциальной геометрии поверхностей, доказал, что если две поверхности имеют одинаковую кривизну Гаусса и она одинакова для всей поверхности, то для этих поверхностей существует локальная изометрия. Так как кривизна Гаусса для цилиндра (или конуса) постоянна, а кривизна Гаусса для плоскости равна нулю, эти поверхности локально изометричны. Однако если кривизна Гаусса не является постоянной, утверждение, доказанное Миндингом, не выполняется.