Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга - [21]

* * *

Классический результат, приведенный ниже, принадлежит французскому математику Франсуа Виету (1540–1603):

Это произведение, само по себе красивое с точки зрения математики, можно преобразовать в еще более прекрасное выражение, что сделал Хоаким Мунхаммар в 2000 году:

Число пар кроликов F_n в поколении n при отсутствии смертей и при условии, что первая пара кроликов в первом поколении не размножается, подчиняется правилу F_n = F_n-1 + F_n-2ⁿ

F_n называются числами Фибоначчи.

* * *

Вывод формулы Виета на современном языке выглядит следующим образом. Будем использовать треугольник, который применял еще Архимед. Обозначим основание треугольника за Ь, угол, образованный высотой h и стороной треугольника, за ОС.

Имеем

S_n = n ∙ площадь треугольника.

Используя элементарную тригонометрию (в развитие которой сам Виет внес заметный вклад), получим:

S_n = (1/2)∙nr²∙sin 2α = nr²∙sin α∙cos α.

Следуя по пути Архимеда и используя многоугольник с удвоенным числом сторон, имеем

S_2n = (1/2)∙2∙nr²∙sin 2α = nr²∙sin α.

Тогда

S_n/S_2n = cos α

Это ключевой момент рассуждений, поскольку далее с помощью простых алгебраических преобразований выводится следующее выражение:

Заметим, что при переходе к пределу при k —» oo

После еще одного элементарного преобразования имеем

что сводится к исходной формуле. Как оценить начальное значение α? Если, подобно Виету, взять в качестве исходного многоугольника квадрат, где

n = 4, cos α = √(1/2),

и использовать тригонометрическую формулу половинного угла, согласно которой

cos (χ/2) = √[(1/2) + (1/2)∙cos χ]

получим, пусть и другим способом, искомое выражение:

Не будем забывать, что Виету нельзя было отказать в изобретательности. Отдельное место занимают две формулы, которые считаются королевами математической красоты. Они известны как формула Эйлера:

e^π' + 1 = 0

и формула Стирлинга:

n! ~ √(2πn)∙(n/e)''.

ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА

Эта легендарная функция, которую обозначают греческой буквой дзета (ζ), возможно, в будущем поможет нам узнать ранее немыслимое о простых числах и откроет их тайны. Благодаря исследованиям Эйлера эту функцию можно выразить в виде ряда, равно как и в виде бесконечного произведения:

Эта функция определяется на области, образованной комплексными числами, для которых вещественная часть больше 1. Она допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы, что показал Георг Фридрих Бернхард Риман (1826–1866). Гипотеза Римана гласит, что «нетривиальные нули» ζ имеют действительную часть, равную ¹/₂. Все это выглядит достаточно сложно (и является таковым на самом деле). Столь же непросто обнаружить связь между π и функцией ζ. Эту связь можно заметить, проанализировав значения ζ(s) и выявив, что к соответствует всем целым четным s. Илан Варди и Филипп Флажоле обнаружили следующий любопытный ряд:

Если говорить о цепных дробях, то с их помощью π выражается весьма непросто (первым с помощью бесконечной дроби значение π вычислил Ламберт):

Существуют и другие дроби, не столь известные, но намного более симметричные:

Последняя из формул — это формула лорда Броункера в несколько измененном виде. Цепные дроби отличаются одним положительным свойством: стоит нам остановиться в вычислениях на каком-либо этапе, полученная дробь будет наилучшим из возможных приближенных значений искомого числа. Если при вычислении π с помощью цепной дроби мы остановимся на определенном этапе и «раскрутим» этот клубок в обратную сторону, получим наилучшее из возможных приближенных рациональных значений. Так, если мы остановимся на дроби [3; 7, 15], то получим

ЧТО ТАКОЕ ЦЕПНАЯ ДРОБЬ

Обучить читателя построению цепных дробей, возможно, непросто, но это поможет лучше понять материал, изложенный в книге.

Возьмем число N, которое не является целым. Если мы вычтем из этого числа его целую часть, которую будем называть [N], получим N — [N], то есть дробную часть числа N. Очевидно, что значение этого выражения лежит в интервале от 0 до 1.

Число, обратное N — [N], равно — 1/(N — [N]). Оно больше 1. Для простоты будем называть его N₁.

N — [N] = 1/N₁ или N = [N] + 1/N₁.

Отделив целую часть N₁ и повторив вышеуказанные действия, получим вторую дробь;

И так далее:

Эти действия можно повторять бесконечно. Результатом будет

Если это разложение прекратится, это будет означать, что N — рациональное число (целое или дробное), иными словами, что оно выражается в виде конечной или периодической десятичной дроби. В случае с числом к, которое является иррациональным, разложение в цепную дробь бесконечно. Последовательность, которая обычно записывается так:

[[N]; [N₁], [N₂], [N₃]…]

однозначно определяет N и цепную дробь, в которую раскладывается это число.

* * *

Дробь 333/106 является наилучшим рациональным приближенным значением: чтобы получить любое более точное значение, будет необходимо увеличивать знаменатель. Приближенное значение π = 333/106 в свое время получил Ривар, причем погрешность этого значения крайне мала.

Из так называемой формулы Мэчина

π/4 = 4∙arctg (1/5) — arctg (1/239)

были выведены другие формулы, которые применялись для вычисления знаков π. Позднее мы приведем две подобные формулы, которые использовал японский специалист Канада при расчетах 1241100 000 000 знаков π.