Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга - [19]

Закону нормального распределения подчиняется, например, распределение возраста смерти. Можно сказать, перефразируя Джона Донна, что всякий раз, когда кто-то умирает, по числу π звонит колокол — колокола Гаусса.

ИОГАНН КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС (1777–1855)

Никакая характеристика не может точно выразить весь масштаб личности математика, астронома и физика Гаусса. Достаточно сказать, что современники называли его «принцем математиков» (лат. Princeps mathematicorum). Гаусс был родом из очень простой семьи. Уже в раннем детстве он продемонстрировал незаурядные способности. По легенде, он показал свой удивительный талант, когда учитель предложил найти сумму всех чисел от 1 до 100. Всего через несколько минут Гаусс нашел верный ответ: 5 050. Как мог ребенок так быстро дать верный ответ, когда любому другому на это потребовалось бы намного больше времени? Он заметил, что числа от 1 до 100 образуют 50 пар чисел, сумма каждой из которых равна 101:

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … = 48 + 53 = 49 + 52 = 50 + 51.

Следовательно, 50∙101 = 5 050.

Гаусс очень рано добился заметных результатов. Его интересовало буквально все, он создал бесчисленное множество трудов в самых различных областях: нашел критерий возможности построения правильных многоугольников, сформулировал теорему о распределении простых чисел, доказал основную теорему алгебры, рассчитал орбиту карликовой планеты Цереры, предсказал важнейшие моменты неевклидовой геометрии, не считая многочисленных достижений в математическом анализе, алгебре, теории чисел, теории вероятностей и других разделах математики. В прикладной математике и физике выделяются его работы по геодезии, электричеству и магнетизму. Он изобрел гелиотроп, гелиограф и электрический телеграф.

Гелиотроп — один из приборов, изобретенных Гауссом, который в значительной степени помог ему в геодезических исследованиях. Этот прибор с движущимся зеркалом отражает солнечный свет в определенном направлении, что делает возможной настройку топографических инструментов.

π и другие вероятности

Расскажем о некоторых любопытных фактах, связанных с π и понятных неподготовленному читателю. Если треугольник имеет произвольно выбранные стороны а, b < 1 и с = 1, то вероятность того, что а, b и с образуют тупоугольный треугольник, равна (π — 2)/4.

Среднее число вариантов записи натурального числа в виде суммы двух квадратов (с учетом их порядка) равно π/4.

Говорят, что комплексное число является гауссовым целым числом, если его можно представить в виде х + yi, где х и у — целые. При сложении, вычитании и умножении гауссовых целых чисел результат всегда будет также гауссовым целым числом. Они образуют так называемое поле, на котором можно определить признак делимости, наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное и простые числа. Вероятность того, что два гауссовых целых числа являются взаимно простыми, равна 6К/π², где К — так называемая постоянная Каталана. Для обычных целых чисел эта вероятность равна 6/π².

Глава 4 Формулы с числом π

Государь, чей оракул находится в Дельфах, не говорит и не скрывает, но знаками указывает.

Гераклит

Лорд Кельвин как-то написал на доске формулу

и, обращаясь к слушателям, сказал: «Математик — это тот, для кого эта формула столь же очевидна, как 2 + 2 = 4».

Мы не будем заходить так далеко, как лорд Кельвин, но все же приведем несколько формул, в которых используется π. Присутствие формулы в тексте гарантирует, что не слишком заинтересованный читатель непременно отвлечется, поэтому мы постарались использовать как можно меньше формул и объединить их в одной главе.

Некоторые из них обязательно знать всем, кто интересуется этой темой, поэтому их нельзя было не включить в эту главу. Более сложные формулы будет непросто понять, но с ними следует ознакомиться, чтобы осознать, каких усилий стоило открыть их.

Физика и число π

Выражения, в которых используется π, полезно знать. Те, что касаются физики, порой столь же интересны, сколь трудны для понимания.

Формула ниже — это закон Кулона, описывающий силу взаимодействия между двумя зарядами q₁ и q₂, расположенными на расстоянии r, где ε₀ — электрическая постоянная:

F = |q₁q₂|/4πε₀r²

Это третий закон Кеплера, где Р — период обращения планеты вокруг Солнца, m₁ и m₂ — масса Солнца и планеты, а — большая полуось орбиты, G — гравитационная постоянная:

p² = [4π²/G(m₁ +m₂)]∙a³

Принцип неопределенности Гейзенберга для частицы со средним значением координаты х и средним импульсом р, где h — нередуцированная постоянная Планка:

ΔxΔy >= h/4π

Космологическая константа, где G — гравитационная постоянная, с — скорость света, р — плотность материи и излучения:

 = (8πG/3c²)∙p.

Можно предположить, что следующие формулы будут интересны только специалистам, поэтому мы не будем продолжать. Стоит отметить, что эти и другие физические формулы не используются для расчетов Я, но их полезно знать каждому образованному человеку.

Элементарная геометрия и число π

Простейшие формулы прежде всего относятся к так называемым коническим сечениям — кривым, получаемым в результате рассечения конуса плоскостью. В следующих формулах