Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга - [20]

обозначает радиус.

Длина окружности:

L = 2πг.

Площадь круга:

S = πr².

Площадь эллипса с полуосями а и Ь:

S = πаЬ.

Площадь правильного многоугольника с n сторонами и длиной стороны а:

S = (1/4)∙na²ctg (π/n)

Площадь поверхности сферы:

S = 4πr²

Общая площадь поверхности цилиндра с высотой h:

S = 2πr∙(r + h).

Общая площадь поверхности конуса с образующей g:

S = πr∙(r + g).

Объем сферы:

V = (4/3)∙πr³.

Объем эллипсоида с полуосями а, Ь и с:

V = (4/3)∙πabc

Объем цилиндра с высотой h:

V = πr²h.

Объем конуса с высотой h:

V = πr²h/3.

Также, разумеется, существуют и другие формулы, в которых используется π и очень сложные интегралы.

Простые формулы

Под простой формулой будем понимать любую формулу, найденную до наступления компьютерной эры. С наступлением эпохи компьютеров математики сосредоточили внимание на вычислении знаков π с наибольшей эффективностью. Красота расчетов уступила место эффективности вычислений. Простое перечисление формул будет достаточно громоздким, но у нас не остается другого выхода:

В последней формуле использован круговой интеграл. Предполагается, что обход дуги окружности осуществляется против часовой стрелки.

Важное место среди математических формул с числом π занимают ряды:

Подобные ряды могут иметь и такой вид:

Существуют также ряды, связывающие π и загадочную дзета-функцию Римана ζ (s):

В последнем случае В_2n — числа Бернулли, изучаемые в высшей математике. Для справки приведем первые несколько чисел Бернулли:

Возможно, перечисление рядов — не совсем то, чего ожидал читатель. Рассмотрим подробнее простой пример: первый ряд из нашего списка, именуемый формулой Лейбница. Рассмотрим ряд

1/(1 + x²) = 1 — x² + x⁴ — x⁶ + x⁸ — …,

сходящийся при |х| < 1. Можно проинтегрировать его почленно и использовать интегральное исчисление для расчетов:

Приняв х = 1, увидим, что доказательство близится к завершению. Чтобы подтвердить правильность полученного результата для х = 1, учитывая, что этот результат верен для |х| < 1, нужно выполнить еще несколько действий. Запишем исходный ряд, но остановимся на (n — 1) — м члене, записав остаток так, как если бы речь шла об n-м члене:

Проинтегрировав почленно от 0 до 1 и приняв х = 1, имеем

При переходе к пределу при n —> оо последний член стремится к нулю. Следовательно,

actg 1 = π/4 = 1–1/3 + 1/5 — 1/7 + 1/9 — …

К сожалению, этот ряд не слишком удобен для расчетов π, так как он сходится слишком медленно. Чтобы получить десять знаков π, нужно найти сумму 10⁵⁰ членов ряда — число поистине астрономическое. Из очевидных соображений мы не будем повторять эти действия для всех ранее приведенных рядов. Это было бы слишком трудоемко, но мы не получили бы никаких новых результатов. Следующий ряд иногда называют рядом Грегори-Лейбница. В действительности его нужно было бы именовать рядом Мадхавы из Сангамаграма, так как именно этот индийский математик первым открыл формулу. Этот ряд записывается так:

где F_n — это числа Фибоначчи, элементы числовой последовательности, в которой каждое число является суммой двух предыдущих:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144….

Также π фигурирует в так называемых бесконечных произведениях. Следующую формулу вывел Джон Валлис (1616–1703):

Ее можно свести к интегралу

путем трудоемких математических преобразований. Лорд Броункер (1620–1684) преобразовал эту формулу в цепную дробь.

Авторство следующего бесконечного произведения принадлежит Эйлеру:

Оно имеет особенность: в нем используются только простые числа, как и в другом бесконечном произведении, еще более необычном:

Здесь используются простые числа p_k вкупе с тригонометрическими функциями. Воображение Эйлера поистине не знало пределов.

ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКИЙ (ОК. 1170 — ОК. 1250)

Этот итальянский математик известен под многими именами. После смерти его стали называть Фибоначчи (сын Боначчи), и именно под этим именем он известен потомкам. Его отец был торговцем, постоянно путешествовал и брал Фибоначчи с собой. В путешествиях Фибоначчи познакомился со многими культурами и хорошо изучил индийскую систему счисления и арабскую математику. Он был уважаемым человеком своего времени, другом императора Священной Римской империи Фридриха II. Фибоначчи получал жалование от города Пизы, где ему платили за занятия наукой, точнее, за то, что он размышлял на полезные темы, связанные с торговлей. Его современники не проявляли особого интереса к абстрактным вопросам: некоторые результаты, полученные Фибоначчи, привлекли к Себе внимание лишь спустя 300 лет после его смерти. Самое известное его произведение — «Книга абака» 1202 года, в которой встречается знаменитая последовательность, носящая его имя:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89….,

в которой каждый элемент равен сумме двух предыдущих. Фибоначчи применил этот ряд в решении известной задачи о кроликах. В «Книге абака» содержатся другие похожие задачи, но известность в Европе книга приобрела благодаря изложению практических задач современным и понятным языком. Иными словами, читатели не возражали против рассуждений о π, но на самом деле их больше интересовали советы по использованию позиционной системы счисления с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Вопросы, связанные с бухгалтерией, мерами, весами, монетами, распределением прибыли, требовали ответов и разъяснений. Фибоначчи написал и другие книги по чистой математике, в которых освещались важные задачи геометрии, теории чисел и уравнения, но в свое время они не вызвали того резонанса, которого заслуживали.