Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга - [22]

ДЖОН МЭЧИН (ОК. 1680–1751)

Этот английский математик в течение 29 лет занимал пост секретаря Лондонского королевского общества, но остался в истории благодаря единственной формуле, носящей его имя. Эту формулу в сочетании с рядом Тейлора удобно использовать для расчетов числа к, так как полученный ред сходится достаточно быстро. Сегодня известно множество формул подобного вида, например

π/4 = 183∙arctg (1/239) + 32∙arctg (1/1023) — 68∙arctg (1/5832) + 12∙arctg (1/113021) — 100∙arctg (1/6826318) — 12∙arctg (1/33366019650) + 12∙arctg (1/43599522992503626068)

которую вывел Хван Чен Ли в 2003 году.

Сложные формулы

Индийский математик Рамануджан примерно в 1910 году получил первую из этих формул (и еще 16 подобных ей):

Эта формула отличается удивительным свойством: с вычислением каждого последующего члена она дает 8 новых десятичных знаков π. Однако для доказательства этой формулы пришлось подождать три четверти столетия, так как Рамануджан не потрудился привести доказательство. Билл Госпер, один из первых хакеров в истории, использовал эту формулу для расчета 17 миллионов знаков π. Вариант

позволил находить не 8, а 14 знаков на каждом шаге вычислений. Помимо этого, вычисления стало возможным разделить между несколькими компьютерами.

Приведенная формула была получена братьями Чудновскими в 1987 году. Мы приводим ее, чтобы подчеркнуть, насколько быстро развивается все, связанное с информатикой: в XXI веке эту формулу используют для расчетов на персональных компьютерах, а не суперкомпьютерах.

Эти формулы могут показаться сложными, что не помешало им появиться в фильме «Классный мюзикл» (High School Musical): в одной из сцен они написаны на доске, причем одна формула содержит ошибку, которую исправляют прямо по ходу действия. В чувстве юмора сценаристам не откажешь.

В 1946 году с появлением ENIAC (сокр. от Electronic Numerical Integrator and Computer — электронный числовой интегратор и вычислитель) в вычислениях начали использоваться компьютеры, и все, в том числе расчет знаков π, изменилось навсегда. ENIAC был первым электронным компьютером, предназначенным исключительно для вычислений. Его ближайшим предком была ЭВМ «Колосс», использованная Аланом Тьюрингом (1912–1954) в Блетчли-парке в военных целях, а именно для расшифровки секретных сообщений немцев. ENIAC разработали Джон Пресперт Экерт (1919–1995) и Джон Уильям Мокли (1907–1980). Этот компьютер обладал колоссальными размерами и потреблял неимоверное количество электроэнергии: в нем насчитывалось почти 100000 резисторов, реле, диодов, вакуумных ламп, конденсаторов и т. д. Его вес превышал 27 тонн, а длина составляла свыше 30 метров. ENIAC выделял столько тепла, что помещение прогревалось почти до 50 °C. Этот гигант совершал 5000 операций сложения в секунду — в тысячу раз больше, чем его предшественники (ив несколько тысяч раз меньше, чем современные персональные компьютеры). Кроме этого, он мог хранить в памяти 200 цифр. ENIAC программировался с помощью множества штекеров, подобно старинным телефонным станциям. Он был столь огромен потому, что в то время не существовало ни транзисторов, ни микросхем. В нем также не использовалась современная архитектура фон Неймана, в соответствии с которой данные и программы хранятся в одной и той же памяти.

СРИНИВАСА РАМАНУДЖАН (1887–1920)

Этот индийский математик — один из удивительнейших талантов, известных человечеству. Он был родом из очень бедной семьи. После прочтения краткого конспекта лекций по математике, где не приводились доказательства, юноша почувствовал тягу к знаниям. Он написал нескольким известным европейским математикам и отправил им результаты своего труда (120 теорем), но получил единственный ответ — от англичанина Готфрида Харолда Харди (1877–1947). Харди вместе со своим другом Джоном Литлвудом (1885–1977) за одну ночь прочитал присланную ему рукопись и не поверил своим глазам. Как объяснял сам Харди, формулы Рамануджана «должны быть истинными, поскольку если бы они не были истинными, то ни у кого не хватило бы воображения, чтобы изобрести их». Некоторые из них были похожи на те, что получили Харди и Литлвуд, прочие были в равной степени странны и оригинальны. Позднее, сначала за счет самого Харди, а затем за счет Кембриджского университета Рамануджан переехал в Великобританию, где и работал до самой смерти, наступившей в раннем возрасте от туберкулеза. Ввиду оригинальности его работ его вклад в математику беспорядочен и слабо поддается оценке, поскольку Рамануджан часто не приводил подробный вывод своих формул.

Он был очень религиозным человеком и вегетарианцем. Его в точности описывает наиболее известный анекдот о нем. Как-то Рамануджан попал в больницу и Харди отправился навестить его. Харди заметил, что приехал в такси с номером 1729. Он назвал это число скучным и непримечательным. «Вовсе нет, — последовал ответ. — Это наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами!». Действительно, 1729 = 9³ + 10³ = 1³ + 12³, и 1729 является наименьшим возможным числом, которое обладает подобным свойством. Этот случай не был бы чем-то из ряда вон выходящим, если бы Харди не потребовалось несколько недель на доказательство этого утверждения. На тщательное же изучение этой темы у него ушло почти 35 лет. Сегодня математики продолжают изучать подобные числа, так называемые номера такси.