Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга - [18]

= l = 1 для упрощения вычислений. Обозначим за х угол, образованный иглой и горизонтальной осью. Будем измерять этот угол в радианах, так как нам понадобятся минимально необходимые инструменты математического анализа, в частности некоторые интегралы.

Из элементарной геометрии очевидно, что если верно неравенство

y =< (1/2)∙sin x,

то игла пересечет линию. Это будет отправной точкой наших расчетов. На следующем рисунке изображен график функции y = (1/2)∙sin x:

ЖОРЖ ЛУИ ЛЕКЛЕРК ГРАФ ДЕ БЮФФОН (1707–1788)

Этот французский ученый оставил свой след в различных науках. Он был биологом, писателем, занимался космологией и математикой. Его главным трудом является монументальная «Естественная история» в 36 томах с 8 приложениями. В области космологии наиболее значительным вкладом Бюффона стала гипотеза о возрасте Земли, вычисленном по результатам исследований охлаждения железа. Гипотеза вызвала серьезный протест со стороны церкви. Он перевел на французский труды Ньютона и внес вклад в теорию вероятностей, опубликовав работу «Опыт моральной арифметики», в которой, помимо прочего, содержалась знаменитая задача о падении иглы на лист с нанесенными параллельными линиями.

Граф де Вюффон занимался многими науками, но известен прете всего как натуралист.

* * *

Чтобы оценить площадь закрашенной области, множество точек которой является решением неравенства y =< (1/2)∙sin x, необходимо вычислить интеграл

Площадь прямоугольника равна π/2, и вероятность того, что игла упадет на линию, равна отношению двух площадей:

1/(π/2) = 2/π ~ 0,6366197…

Именно здесь и появляется число π.

Задачу можно также решить для случая, когда l не равно d. При l < d вероятность равна 2l/πd, при l > d вероятность равна

В этом случае необходимо вычислить двойной интеграл. Предпринимались попытки вычислить значение π на основании данных рассуждений, но результаты оказались неудовлетворительными. Фактически малейшая неровность иглы приводит к появлению заметных ошибок, поэтому использовать этот метод не рекомендуется. Предпочтительнее бросать виртуальные иглы на разлинованные листы в киберпространстве. Для этого разработаны специальные программы.

…и иголка на листе бумаги

Более сложный вариант предыдущей задачи называется задачей Бюффона-Лапласа. Ее решение приводит Лаплас в своей «Аналитической теории вероятностей». В этом варианте задачи игла падает не на равноудаленные друг от друга параллельные прямые, а на сетку из клеток с перпендикулярными сторонами. Каждая клетка имеет стороны а и b (а не равно Ь). Предполагается, что иголка короче, чем обе стороны.

Чтобы найти ответ, необходимо вычислить несколько более сложный интеграл, чем в предыдущей задаче. Вероятность того, что игла пересечет одну из сторон клетки, равна

(2l(a + b) — l²)/πab.

При а = b вероятность того, что игла не пересечет ни одну из линий, равна

1 — (l(4a — l)/πa²)

Вероятность пересечения одной линии равна

2l(2a — l)/πa²

и вероятность пересечения двух линий равна

l²/πa²

Можно обобщить эту задачу, преобразовав квадратные клетки, скажем, в треугольники. Но эту задачу мы оставляем специалистам.

ПЬЕР СИМОН МАРКИЗ ДЕ ЛАПЛАС (1749–1827)

Французский астроном и математик, друг и протеже Наполеона, автор «Небесной механики» в пяти томах и других фундаментальных работ в области физики и универсальных знаний. Лаплас, который уже в юном возрасте продемонстрировал блестящие способности, с удивительной легкостью усваивал математический анализ и физику. Он внес вклад в развитие множества новых концепций в теории вероятностей (производящая функция последовательности, условная вероятность, задача Бюффона), в чистой математике (теория потенциала, преобразование Лапласа, гармонический анализ) и астрономии (форма Земли, образование Солнечной системы из туманности, теория возмущений). Его можно считать практически универсальным гением. Его научные достижения были столь удивительны для современников, что после смерти Лапласа его мозг извлекли для изучения, но ничего особенного в нем обнаружено не было. Наполеон сделал его министром, что не помешало Лапласу принять благородный титул после реставрации Бурбонов. Как гласит знаменитый исторический анекдот, Наполеон ознакомился с сочинением Лапласа об астрономии и удивился полному отсутствию слова «Бог» в его труде. «Это потому, что я в этой гипотезе не нуждался», — ответил ученый.

Нормальная кривая

Во многих задачах, связанных с теорией вероятностей и статистикой, например, в распределении роста, коэффициента интеллекта, инструментальных ошибок телескопа, интенсивности лазерного луча (и это лишь некоторые примеры), фигурирует так называемая кривая Гаусса, или нормальная кривая. Она соответствует распределению вероятностей с кривой плотности, в которой определяющую роль играет π.

Стандартное представление кривой можно получить, взяв среднее значение, равное нулю, и дисперсию δ² = 1. В этом случае кривая будет иметь знакомую нам форму колокола, который слегка вытянут вдоль вертикальной оси.

Эта кривая описывается уравнением

Вероятность рассчитывается с помощью интеграла

Как можно убедиться, в этой формуле всегда присутствует π.