Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - [16]

Теорема 1. Если в уравнении произвести уничтожение двух подобным членов, то получится следствие данного уравнения.

Другими словами, если уравнение

f(x) + φ(x) − φ(x) = 0        (4)

заменить уравнением

f(x) = 0,          (5)

то потери корней не произойдет, а приобретение корней может произойти.

Сначала докажем, что не произойдет потери корней, т. е. что любой корень x = с уравнения (4) является корнем уравнения (5). Если x = с — корень уравнения (4), то

f(с) + φ(c) − φ(c) = 0          (4′)

— истинное числовое равенство, где f(с) и φ(с) — числа. Оно не нарушится в результате прибавления и последующего вычитания числа φ(c).

Таким образом,

f(с) = 0           (5′)

— истинное числовое равенство, т. е. x = с является также и корнем уравнения (5).

Остается убедиться в том, что уравнение (5) может иметь корни, посторонние для уравнения (4). Чтобы доказать это, достаточно привести пример. Уравнение

cos x + tg x − tg x = 0         (4′′)

после уничтожения подобных членов принимает вид

cos x = 0.          (5′′)

Корнями уравнения (5′′) будут числа x = ^π/₂ + kπ. Но ни одно из них не удовлетворяет уравнению (4′′), так как tg x перестает существовать, когда cos x = 0.

Итак, теорема доказана.

Несколько уравнений могут образовать систему или совокупность.

Говорят о системе уравнений, если требуется найти все решения, общие для всех уравнений, входящих в систему.

Если же нужно найти все такие решения, которые удовлетворяют хотя бы одному из нескольких уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют совокупность.

Систему уравнений обычно записывают в столбик и ставят сбоку фигурную скобку — знак системы; совокупность уравнений, как правило, записывается в строку. Если же совокупность уравнений удобнее записать в столбик, то слева ставят квадратную скобку — знак совокупности.

Если мы рассмотрим совокупность двух уравнений:

x² − x − 2 = 0 и x² − 2x − 3 = 0,

то корни первого: x₁ = 2, x₂ = −1 нужно объединить с корнями второго: x₁ = 3, x₂ = −1. Получим решение совокупности:

x₁ = 2, x₂ = −1, x₃ = 3.

Если же мы рассмотрим систему

то из корней первого уравнения нужно выбрать те, которые удовлетворяют и второму уравнению системы. Получим только одно решение системы: x = −1.

Уравнение

f(x) · φ(x) = 0       (6)

называется распадающимся.

Теорема 2. Уравнение (6) равносильно совокупности двух систем:

(7)

Доказательство. Если x = а — корень уравнения (6), то f(а) и φ(а) существуют и либо f(а) = 0, либо φ(а) = 0 (случай, когда оба сомножителя одновременно равны нулю нами из рассмотрения не исключен). Следовательно, одна из систем (7) удовлетворяется при x = а.

Пусть теперь x = а — корень совокупности (7). Если при x = а удовлетворяется либо первая, либо вторая система, то и в том и в другом случае f(x) · φ(x) = 0, т. е. x = а — корень уравнения (6).

Упражнения

Докажите следующие теоремы о равносильности уравнений.

17. Если к обеим частям уравнения

f(x) = φ(x)

прибавить выражение ψ(x), то в случае, когда ψ(x) имеет смысл при всяком x, получится равносильное уравнение, в противном случае могут быть потеряны корни.

18. Уравнения

f(x) + ψ(x) − ψ(x) = φ(x)

и

f(x) = φ(x)

в случае, когда ψ(x) имеет смысл при всяком x, равносильны; в противном случае второе уравнение является следствием первого.

19. Если в уравнении

(8)

отбросить знаменатель, то получится уравнение

f(x) = ψ(x),

являющееся следствием данного уравнения.

19а. Уравнение (8) равносильно системе

(8а)

20. Если обе части уравнения f(x) = φ(x) возвести в квадрат, то полученное уравнение

[f(x)]² = [φ(x)]²           (9)

является следствием данного уравнения. Уравнение (9) равносильно совокупности двух уравнений:

f(x) = φ(x),    f(x) = −φ(x).

21. Чему равносильна система

22. Докажите, что следствием уравнения

является уравнение

при условии, что

Найдите действительные корни уравнений:

9.1. |x| − 2|x + 1| + 3|x + 2| = 0.

9.2. |x² − 9| + |x² − 4| = 5.

9.3.

9.4.

9.5.

9.6.

9.7.

 а и b — действительные числа.

9.8.

 а — действительное число.

9.9.

 а — действительное число.

9.10. Найдите действительные решения уравнения

|x² − 3 · ^x/₂ − 1| = −x² − 4x + β

и определите, при каких значениях β оно имеет единственное[6] действительное решение.

9.11. Решите систему

9.12. Найдите все действительные значения k, при которых решение системы

удовлетворяет условию: x > ¹/_k, у > 0.

9.13. В области действительных чисел решите систему

9.14. При каких значениях а система

имеет действительные решения? Найдите эти решения.

Решите системы:

9.15.

9.16.

9.17.

9.18.

9.19. Числа x, у и z удовлетворяют системе уравнений

где а, b, с не равны друг другу. Найдите x³ + у³ + z³.

Решите системы:

9.20.

 

9.21.

 

9.22.

 

9.23.

9.24. Найдите все действительные решения системы

9.25. Найдите одно решение системы

Решите системы в области действительных чисел:

9.26.

9.27.

9.28.

9.29.

 если а > b > 0 и а + b < 1.

9.30. Найдите все значения а и b, при которых система

имеет единственное решение (а, b, x, у — действительные числа).

9.31. Найдите все значения а, при которых система

имеет хотя бы одно решение и всякое ее решение удовлетворяет уравнению x + у = 0 (а, x, у — действительные числа).

9.32. Найдите все значения а, при которых система