Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - [17]

Шрифт
Интервал

имеет хотя бы одно решение для любого значения b (а, b, x, у — действительные числа).

9.33. Найдите все значения а и b, при которых система уравнений

имеет единственное решение (x, у, а, b — действительные числа, x > 0).

9.34. Решите систему

в области действительных чисел.

9.35. Решите уравнение

|6 − |x − 3| − |x + 1|| − аx − 5а = 4

при всех действительных значениях параметра а.

9.36. При всех действительных а решите уравнение

9.37. Решите уравнение

9.38. Решите систему уравнений

Глава 10

Алгебраические неравенства 

О доказательстве неравенств. Доказать неравенство можно следующими способами, которые мы продемонстрируем на примере неравенства

1. От противного. Предположим противное:

Тогда

что невозможно.

2. По определению неравенства. Составим разность левой и правой частей и определим ее знак:

3. Вывести из ранее доказанного или очевидного неравенства. Мы знаем, что

откуда

Обратите внимание, что следующее «доказательство» неравенства является логически некорректным.

Если

 и, следовательно,

что очевидно.

Некорректность приведенных рассуждений состоит в том, что в качестве исходного пункта взято доказываемое неравенство. Таким образом установлено, что если

то (√а − √b)² ≥ 0. Однако верное следствие может быть получено из ложной посылки. Если те же рассуждения провести в обратном порядке, то мы получим корректное доказательство, аналогичное тому, которое приведено выше под номером 3).

Решение неравенств. Система, совокупность. Решить неравенство — значит, найти все системы значений входящих в него неизвестных, при которых неравенство истинно, или доказать, что таких систем значений нет.

Если два или несколько неравенств должны удовлетворяться одновременно, то говорят, что они образуют систему.

Если достаточно, чтобы удовлетворялось одно из двух или нескольких неравенств, то говорят, что эти неравенства образуют совокупность.

Неравенства, образующие систему, записывают одно под другим, а сбоку ставят фигурную скобку — знак системы.

Например,

Решение этой системы показано на рис. 10.1 двойной штриховкой. Эта же система неравенств может быть записана так: 3 < x < 7.

Совокупность неравенств записывают либо в строку, либо в столбец и ставят слева квадратную скобку. Это позволяет не путать совокупность неравенств с системой. Запись

означает, что число x должно лежать на любом из заштрихованных на рис. 10.2 интервалов.

Решить систему, состоящую из нескольких совокупностей неравенств, — значит, найти все значения неизвестного, удовлетворяющие всем входящим в систему совокупностям.


Пример 1. Решить систему совокупностей неравенств

Решение первой совокупности изображено на рис. 10.3 с помощью двух прямоугольников (левая сторона одного из них бесконечно отодвинута влево), расположенных над точками, удовлетворяющими этой совокупности. Аналогично на этом же рисунке изображены решения второй и третьей совокупностей.

Чтобы избежать путаницы, мы для разных совокупностей строим прямоугольники различной высоты. Особо внимательно нужно следить за концами интервалов: если неравенство строгое, то будем рисовать в конце интервала светлый кружок, а если нестрогое, то — черный кружок. Специально разберите случаи, когда одна и та же точка оказывается и светлой, и темной — для системы и совокупности неравенств.

Точки числовой оси, над которыми расположены три прямоугольника разной высоты (см. рис. 10.3), дают решение системы: 1,5 < x ≤ 2.

Упражнения[7]

1. Что произойдет с совокупностью неравенств, если к ней добавить неравенство, не имеющее решений?

2. Что произойдет с системой неравенств, если к ней добавить неравенство, не имеющее решений?

3. Решите систему двух совокупностей неравенств

Метод интервалов. Рассмотрим неравенства типа

(1)

Начнем предварительно с неравенства (x − 2)(x − 3) > 0. Его нередко решают следующим образом. Произведение двух множителей положительно тогда и только тогда, когда оба множителя одного знака, т. е. данное неравенство равносильно совокупности двух систем

Чтобы убедиться в нерациональности такого способа решения, достаточно применить его к решению неравенства, левая часть которого содержит, например, десять множителей

(x − 1)(x − 2)...(x − 10) > 0.         (2)

Несложный подсчет показывает, что в этом случае пришлось бы рассматривать совокупность, состоящую из 512 систем по 10 неравенств в каждой системе.

Решим неравенство (2) с помощью более рационального приема, называемого методом интервалов. Отметим на числовой оси все корни многочлена, стоящего в левой части неравенства (рис. 10.4). Когда x расположен правее самого большого корня (x > 10), многочлен будет положительным, так как каждый множитель положителен. Если двигаться по оси в отрицательном направлении, то при переходе через точку x = 10 множитель x − 10 поменяет знак. В произведении появится один отрицательный множитель, а девять останутся положительными, в результате чего многочлен поменяет знак, так как появится дополнительный отрицательный множитель. Далее перемена знака произведения произойдет при переходе через каждую из обозначенных на рис. 10.4 точек. (Области, где многочлен положителен, отмечены на рис. 10.4 дугой сверху, а области, где он отрицателен, — дугой снизу.) Теперь легко записать решение неравенства (2):


Рекомендуем почитать
Квантовый оптоэлектронный генератор

В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.


Флатландия. Сферландия

Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.


Стратегии решения математических задач

Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.


Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.


Симпсоны и их математические секреты

Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.


Истина и красота: Всемирная история симметрии

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.