Эту задачу нужно решать с особым вниманием.
Ответы к упражнениям 1—22 см. на с. 326—328.
Для краткости равенства можно располагать в строку или писать (x, y, z, ...) = (а, b, с, ...).
Имеется в виду применение абсолютного тождества, см. с. 42. Для неабсолютных тождеств это утверждение неверно.
Под применением тождества мы понимаем замену его левой части на правую.
Два совпадающих решения считаются за одно.
Ответы к упражнениям 1—9 см. на с. 360.
Если какая-то точка уже была отмечена светлым кружком, то изменять обозначение не следует.
Так в источнике (прим. от верстальщика fb2).
Требуется найти не только положительные значения x.
Требуется найти не только положительные значения x.
Плотности всех растворов предполагаются одинаковыми; при сливании двух растворов объем нового раствора равен сумме объемов исходных растворов.
Первое соотношение — неабсолютное тождество, остальные — абсолютные тождества.
Так в тексте. От верстальщика fb2.
[x] — целая часть числа x.
Такое преобразование системы, вообще говоря, может привести к приобретению постороннего решения, в котором y = 0.
Хотя метод интервалов был изложен во введении применительно к многочленам, им можно пользоваться при решении более широкого класса неравенств. В частности, для этого неравенства получаем
(3>√x − 2)(x + 1)(x − >3/>2) >0.
Первый множитель обращается в нуль при
причем он больше нуля при
и меньше нуля при
Нанесем точки −1,
и
>3/
>2 на числовую ось и воспользуемся тем обстоятельством, что при
x >
>3/
>2 все три скобки положительны. Так как, кроме того,
x ≥ 0, окончательно получим
Заметим, что если бы мы перешли к основанию 2, то получили бы уравнение, равносильное данному. Убедитесь в этом самостоятельно.
Формулы для
и т. п. доказываются аналогично с помощью тождеств: (
x + 1)³ =
x³ + 3
x² + 3
x + 1, (
x + 1)
>4 =
x>4 + 4
x³ + 6
x² + 4
x + 1.
Во всех случаях удобно граничную точку относить к обоим интервалам, чтобы не столкнуться с ситуацией, когда наименьшее значение не достигается.