Онтология математического дискурса - [15]

Примечания к Главе 1

1. Интересный и весьма скрупулезный анализ роли математических образов в философском мышлении дан В.А.Шапошниковым в [60]. вернуться в текст

2. Латинский перевод аристотелевского термина ousia. вернуться в текст

3. Подробное рассмотрение философии математики Беркли предпринято в книге Джессефа [73]. Там, в частности, разбирается теория "репрезентантов" (термин Джессефа), развиваемая Беркли как альтернатива теории абстракции. Речь идет о намерении Беркли доказать, что в математике нет никаких общих понятий, абстрагированных от единичных предметов, а есть лишь те же самые единичные предметы (т.е. идеи), которые выступают в рассуждении как представители целых классов подобных им идей. вернуться в текст

4. Пустяковые трудности. вернуться в текст

5. Следуя терминологии Беркли, лучше было бы сказать "интерсубстанциональной". вернуться в текст

6. Объектом называется то, что представлено мышлению как нечто мыслимое, точнее представлено мыслящим субъектом самому себе. "Объект есть то, в понятии чего объединено многообразие данного наглядного представления" (B137; курсив Канта). Следовательно объект всегда представляет собой результат конструирования.Именно этого значения названного термина мы и будем придерживаться в дальнейшем. В "Критике чистого разума" наряду со словом "объект" (Objekt) используется и слово "предмет" (Gegenstand), для которого не дается более или менее ясного определения. По всей видимости "предметом" можно назвать и то, что не представляется как результат конструирования. Существует мнение ( [74], с. 268), что Кант не проводит никакого ясного различения между двумя названными терминами и пользуется ими как взаимозаменяемыми. Леппакоски замечает по этому поводу, что в английском переводе "Критики чистого разума" оба слова совершенно правомерно передаются одним и тем же термином "object". Тем не менее нам представляется, что если "объектом" можно назвать только нечто реально возможное, т.е. производимое продуктивной способность воображения, то термин предмет допускает более широкое использование. Например, "множество всех действительных чисел", которое невозможно сконструировать, допустимо называть предметом, но не объектом. вернуться в текст

7. Связь категорий объект и факт нуждается в дополнительном рассмотрении. Мы проведем его в Главе 3 при сопоставлении категорий действительности и необходимости. вернуться в текст

8. Причем факты могут служить для фальсификации теории. Последнее означает, что построенный при заданных посылках объект не может быть "вписан" в теоретическую структуру. На связь попперовской идеи фальсификации с "Критикой способности суждения" указано также в [33]. Впрочем, эта связь должна быть предметом особого исследования. Равно как и связь представлений Поппера о строении научной теории с развертыванием категории "действительности" у Кассирера ([32],c. 349-400). Оба эти мыслителя строят очень похожие конструкции, связывающие частные факты с общей гипотезой. вернуться в текст

ГЛАВА 2 Интерпретации существования в математике

  1 Основные стратегии доказательства существования

Важной задачей, которую мы должны решить, проводя исследование онтологии математического дискурса, состоит в выяснении тех традиционных способов, которыми математика устанавливает существование своих предметов. Для этого следует обратить внимание на математические предложения, утверждающие о чем-либо, что оно "существует". Рассмотрение доказательств таких предложений позволяет понять, в каком смысле употреблено в нем это слово. Способ доказательства существования проясняет, прежде всего, интерпретацию существования в том или ином утверждении.

Если попытаться разобрать основные математические тексты (т.е. тексты, производимые математиками разного класса и уровня и читаемые в сообществе, имеющем к математике какое-либо отношение), то при самом поверхностном анализе можно увидеть три способа доказательства существования и, соответственно, три способа определить онтологический статус предмета исследования.

Первый (и, возможно, наиболее распространенный) способ доказательства состоит в непосредственном построении объекта, в существовании которого предстоит убедиться. В качестве классических областей применения такого рода доказательств принято указывать евклидову геометрию, алгебру и, отчасти, теорию чисел [18]. Однако, важно понимать, что его употребление вполне естественно и для вполне "нефинитных" областей, например, для функционального анализа. Чтобы обратить внимание на некоторые важные особенности такого способа доказательства, уместно обратиться к примеру. Одна из известных теорем функционального анализа утверждает, что для любого сжимающего отображения произвольного полного метрического пространства в себя существует единственная неподвижная точка этого отображения. Это утверждение доказывается так: в метрическом пространстве выбирается произвольная точка, данное сжимающее отображение применяется сначала к этой точке, потом к получившемуся в результате его применения образу этой точки, потом к образу образа и т.д. Выясняется, что возникающая при этом последовательность имеет предел и этот предел - точка пространства, не изменяющаяся при применении к ней данного отображения.