Онтология математического дискурса - [14]

Если в "Критике чистого разума" Кант рассматривает лишь способ синтеза суждений, то в "Критике способности суждения" речь идет о решении естественнонаучной проблемы. Оно (решение) состоит в том, чтобы представленные в виде бессвязного агрегата объекты были объединены в рамках целостной структуры. Именно в этой структуре каждый объект должен получить свое место и свое назначение. Поэтому здесь и реализуется принцип целесообразности. Очень важно иметь в виду, что действие способности суждения не является простым формулированием общего правила для ряда единичных объектов (или частных фактов). Нужно не просто сформулировать гипотезу, но сформулировать ее так, чтобы все требуемые факты выводились из нее как частные случаи. Эта процедура вывода должна предугадываться способностью суждения наряду с самим общим правилом. Иными словами способность суждения есть способность предвидеть структуру рассуждения как целого.

Едва ли, кстати, можно утверждать, что столь сложная работа сводится только к действию способности суждения. Очевидно, что наряду с ней здесь действуют и другие способности, а именно рассудок и воображение. Решение естественнонаучных проблем явно подразумевает ту "свободную игру" познавательных способностей, которую Кант связывал с принципом удовольствия (см. [28], c. 85)

Все сказанное мы, вслед за Кантом, отнесли к сфере исследования природы. Однако в той же мере это верно и для математики. Любая математическая задача представляет собой изложение фактов, никак, на первый взгляд, между собой не связанных. Решение задачи состоит в том, чтобы обнаружить и построить некоторую единую конструкцию, в которой все наличные факты получают свое место. Это особенно очевидно при решении геометрических задач, в которых необходимо дополнительное построение, приводящее к созданию более сложной конфигурации, из которой однако легко усматривается ответ на вопрос задачи. Но то же самое происходит и при решении любых задач, где в роли такой конфигурации выступает алгебраический вывод или более сложный математический текст, включающий как знаковые, так и графические элементы.

Уместность описанной гипотетико-дедуктивной процедуры при решении математических задач была довольно подробно описана Д. Пойа в [44] и [45]. На множестве примеров (как учебных, так и исторических) в этих книгах показывается, что важным моментом решения задачи является индуктивная догадка, обобщающая и связывающая воедино множество установленных ранее фактов. Едва ли многие математические теоремы появляются в результате чистого дедуктивного вывода из аксиоматически заданных посылок. Чаще они рождаются в виде догадок, необходимых для решения задачи (или ряда задач). С другой стороны, сколь бы частной ни была задача ее решение является чем-то вроде мини-теории, где ответ оказывается следствием из установленного в виде гипотезы постулата. Немаловажное отличие от естественнонаучной теории состоит в том, что сам этот частный постулат нуждается в доказательстве.

Все сказанное позволяет дополнить приведенное ранее определение существования. Математический объект существует постольку, поскольку сконструирован. Однако математика не есть простое конструирование объектов. Она представляет собой решение задач, а потому каждый объект появляется в ней в рамках более общей структуры, продуцируемой познавательными способностями для того, чтобы получить такое решение. Значит объект существует, поскольку встроен в такую структуру в виде ее элемента. Сама структура предстает как конструкция способности воображения и о ней также может быть поставлен вопрос - в рамках какой еще более общей структуры она существует. Разум не может представить, как налично реализованную, совокупность структур, последовательно включенных друг в друга в виде бесконечной конструкции. Поэтому вопрос о существовании требует для своего полного разрешения введения регулятивных понятий. В математике поэтому неизбежны представления о бесконечных совокупностях, в рамках которых существуют частные математические объекты. Для естествознания таким регулятивом выступает понятие о мире, в котором может быть реализовано сколь угодно много теоретических структур.

Необходимо, впрочем, иметь в виду, что в "Критике способности суждения" нет речи о существовании, тем более о существовании математических объектов. Кантовское решение проблемы существования связано с рассмотрением категорий модальности, чем мы подробно займемся в Главе 3. Но сразу можно сказать, что это рассмотрение не будет полным без учета принципа целесообразности. С другой стороны, мы вплотную подошли к тому пониманию существования, которое связали в Введении с именем Кассирера. В рамках нашей интерпретации кантовского определения рефлектирующей способности суждения всякий объект считается существующим тогда, когда определено его место в некоторой структуре, разворачиваемой согласно установленному правилу (логической форме). Более того, теперь можно яснее сказать о какой структуре должна идти речь - это структура теории, создаваемой на основе индуктивной догадки и объясняющей ранее установленные факты. (См. примечание 8) Впрочем, предъявление структуры не является еще достаточным условием для утверждения о существовании элементов. Необходимо указать особые свойства такой структуры - ниже мы попытаемся разобрать, как решал эту проблему Гильберт.