Онтология математического дискурса - [17]

Что же позволяет считать такие квази-объекты существующими. Здесь оказывается уместна та интерпретация существования, на которой настаивал Пуанкаре: критерием существования является свобода от противоречия. Все те формулы, в которые подставляются введенные для таких предметов значки, не должны противоречить друг другу. Более ясным этот критерий становится при обращении к аксиоматическому построению математики. Паункаре писал: "Если мы ... имеем систему постулатов, и если мы можем доказать, что эти постулаты не заключают в себе противоречия, то мы вправе рассматривать их как определения одного из тех понятий, которые фигурируют в этой системе предложений" ([48] с.373). Еще яснее такая интерпретация становится видимо, если прибегнуть к более поздней терминологии. Предмет существует, если он оказывается термом в непротиворечивой теории. Такой подход к проблеме существования сразу же ставит проблему непротиворечивости. Мы обсудим это подробнее, когда будем разбирать взгляды Гильберта.

Нашей ближайшей задачей будет углубление названных здесь интерпретаций существования. Каждая из них имеет достаточно солидную философско-математическую базу. Построение такой базы требует выявления ряда предпосылок, неявно присутствующих в любом математическом дискурсе. Сознательное прописывание такого рода предпосылок (т.е. работа, которую можно назвать уже чисто философской) не раз предпринималось ведущими математиками. К анализу взглядов некоторых из них мы сейчас обратимся.

  2 Концепция существования у Кантора

В работах Георга Кантора есть ряд пассажей, в которых он довольно точно объясняет, что следует считать существующим в математике. Обратим внимание, прежде всего, на следующее высказывание.

"Во-первых, мы можем считать целые числа действительными (здесь, очевидно, имеется в виду "действительно существующими" - Г.Г.) постольку, поскольку они занимают на основе определений вполне определенное место в нашем рассудке, вполне ясно отличаются от всех остальных составных частей нашего мышления, находятся к ним в определенных отношениях и, таким образом, определенным образом видоизменяют субстанцию нашего духа." Такого рода реальность Кантор называет "интрасубъективной" или "имманентной", которую он отличает от реальности "транссубъективной" или "транзиентной". Последняя приписывается числам "постольку, поскольку их приходится рассматривать как выражения или отображения процессов во внешнем мире, противостоящем интеллекту". Внешний мир, что немаловажно, включает как "телесную", так и "духовную природу". "Для меня - пишет далее Кантор - не подлежит никакому сомнению, что оба эти вида реальности всегда совпадают в том смысле, что какое-нибудь понятие, принимаемое за существующее в первом отношении, обладает в известных, даже бесконечно многих отношениях транзиентной реальностью." ([31], c.79)

Итак "транзиентная реальность", будучи трансцендентным интеллекту внешним миром, все же совершенно адекватно представлена определенными понятиями. Эта определенность и должна служить своего рода критерием существования. Поскольку основные усилия Кантора направлены на обоснование реальности объектов создаваемой им теории бесконечных множеств, то речь должна идти главным образом об определенности этих множеств и их элементов. Если нам удастся установить их ясную "отличимость от всех остальных составных частей нашего мышления", то мы можем быть уверены, что они совершенно адекватно представляют предметы внешнего мира (причем, скорее "духовной" нежели "телесной" природы - поскольку речь идет о бесконечных множествах). Поэтому математика "при развитии своих идей должна считаться единственно лишь с имманентной реальностью своих понятий и не обязана вовсе проверять также их транзиентную реальность" (с. 79-80; курсив Кантора). Здесь уместно следующее рассуждение, проводимое Кантором несколько ранее. "Многообразие (совокупность, множество) элементов,принадлежащих любой сфере понятий, я называю вполне определенным, если на основе его определения и вследствие логического принципа исключенного третьего становится возможным рассматривать внутренне определенным как то, является или не является его элементом любой объект из этой сферы понятий, так и то, равны или нет друг другу два принадлежащих множеству объекта, несмотря на формальные различия в способах их задания." ([31], c. 50-51; Курсив Кантора).

Выяснять принадлежит ли данный предмет указанному множеству, а также устанавливать его тождественность с другим предметом на основании закона исключенного третьего, можно лишь предположив у него наличие определенных свойств. Последнее означает, что предмет рассматривается как сущность, могущая выступать в качестве субъекта суждения. Такой предмет должен быть введен в рассуждение с помощью родо-видового определения, т.е. опять же через указание его существенных свойств. Следовательно Кантор склонен рассматривать множество именно как класс сущностей объединенных на основании определенной общности признаков. Поскольку в его теории сами множества могут рассматриваться как элементы других множеств, то значит и сами эти классы следует считать сущностями. Любая сущность-множество задается с помощью набора определяющих свойств своих элементов, через которые устанавливаются также и свойства самой этой сущности.