Онтология математического дискурса - [19]

Естественным примером такой расчленяющей деятельности является деление отрезка прямой линии при нанесении на него последовательности точек. Само построение отрезка, отличимого от других отрезков, его выделение в качестве отдельного восприятия можно считать элементарным актом мысли. Но серия других элементарных актов, состоящих в делении построенного отрезка, позволяет различать в его пределах другие восприятия, части этого отрезка. Сами восприятия, (См. примечание 3) будучи ограничены какими-то границами (концы отрезка) могут быть безгранично делимы. Мы полагаем, что именно это имел в виду Брауэр, когда писал: "Возможность мысленного объединения нескольких единиц, связанных некоторым промежутком, никогда не исчерпывается вставлением новых единиц" ([55], c. 245). В результате процедуры деления отрезка мы структурируем ранее нерасчлененное единство и создаем определенную дискретную последовательность в пределах непрерывной среды. Таким образом мы все больше определяем эту самую среду, устанавливая отношения ее частей.

Две основные интуиции мысли находятся, следовательно, в состоянии постоянного взаимного определения и дополнения. Дискретная последовательность моментов структурирует аморфную среду, нечто постоянно недоопределенное, остающееся между названными моментами. (См. примечание 4) Приведенный нами геометрический пример является парадигмальным для описания любой когнитивной деятельности. Последняя, как видно, состоит в различении моментов восприятий в непрерывной временной среде и расчленении и уточнении самих восприятий.

Математика представляет собой наиболее чистое и, по-видимому, наиболее развернутое выражение такой деятельности. Френкель и Бар-Хиллел приводят следующее высказывание Брауэра: "Изначальная интуиция математики и всякой интеллектуальной деятельности представляет собой основу всех наблюдений за какими-бы то ни было изменениями, поскольку при этих изменениях игнорируются все качественные свойства" ([55], c. 240; курсив наш - Г.Г.).

Отвлечение от всякого чувственного содержания дискретной последовательности различающих актов мысли и создает представление целого числа, точнее, последовательности целых чисел, счета. При этом континуум, который Брауэр также называет основной интуицией, оказывается как бы в подчиненном положении. Он должен быть определен в ходе развертывания дискретной (числовой) последовательности.

Числовая последовательность оказывается для Брауэра основным математическим объектом. Конструирование, которое, согласно замечанию Поппера, является единственным онтологически значимым для математики процессом, следует рассматривать именно как конструирование числовых последовательностей. Впрочем, такое конструирование часто является не самоцелью, а скорее способом определения непрерывного протяженного предмета. Последний, конечно, не есть реальность, данная до всякого построения. Он - среда, а не вещь. Существует то, что происходит в этой среде, точнее, что создается субъектом, действующим в пределах, заданных этой средой. Создается же им дискретная числовая последовательность. Основополагающим отношением для любой последовательности является отношение 'до-после' (отношение порядка). Это отражает ведущую роль интуиции времени в математике. Структура различия, вносимая субъектом в среду, является временной структурой. Основным различением, существующим между создаваемыми элементами, является различение во времени. Определенность предмета возникает, однако еще при одном условии, которое и делает, на наш взгляд, окончательно ясной роль конструктивности. Необходимо принять во внимание еще одну важную характеристику когнитивной деятельности, на которую указывает Брауэр. "Человеческое поведение включает попытку удерживать достаточно длинную цепь 'вещей' с тем, чтобы иметь возможность перейти мысленно от последней к более ранней. Результатом такого действия является обнаружения правила, закона, формирующего последовательность" ([65], с. 99).

Коль скоро когнитивная деятельность подразумевает удержание в мысли некоторого единства, чего-то целого, явленного в последовательных восприятиях (или действиях), то математика должна, выражая эту способность, конструировать единый предмет из многих элементов последовательности. "Человеческое понимание основано на конструировании обычных математических систем так, что каждый индивидуальный элемент жизни связан с соответствующим элементом системы" (Там же). Конструкция, таким образом, оказывается необходима потому, что создает единство многих конструктивных элементов (различенных моментов или восприятий). Конструирование, следовательно, лежит в основе человеческого понимания всякого предмета вообще. Благодаря созданной конструкции, предмет предстает человеку как существующий. Особенно это важно коль скоро речь идет о протяженном предмете, представление которого связано с длением, с непрерывно длящимся восприятием. Смысл конструирования тогда состоит в создании целостной структуры различимых элементов в текучей и неопределенной среде.

Брауэром, следовательно, была реализована трансцендентальная установка, причем в том виде, в каком она прописана у Канта. К онтологической проблематике он подходит со стороны анализа рассуждения и выясняет как должен быть устроен предмет, чтобы фигурировать в рассуждении в качестве существующего. Более того, Брауэр выясняет, что предмет должен быть для этого создан в результате конструктивной деятельности, разворачиваемой во времени. Такая конструктивная деятельность сводится к созданию единой структуры - именно так понятый математический объект может рассматриваться как существующий. Единая структура, с другой стороны, развертывается согласно закону, правилу, устанавливаемому для ряда "вещей" или восприятий. По-видимому трудно интерпретировать это правило иначе, как действие способности суждения, как установление обобщающей гипотезы для совокупности установленных ранее фактов.