Математика. Поиск истины. - [12]

([7], с. 136.)

Опыт не может служить доказательством существования реальности — он носит личный характер.

Хотя мы встали на позицию эмпириков и вознамерились выяснить, что же можно, узнать о внешнем мире, нам лучше всего начать с ответа на вопрос, насколько надежны наши чувственные восприятия. Этим мы займемся в гл. I. Прежде всего нас будет интересовать, в какой мере математике удается вносить поправки в то, что можно было бы назвать иллюзиями, и в особенности открывать полностью невоспринимаемые нами физические явления.

I Обман чувств и интуиция

Ощущения — это обман наших чувств.

Декарт

Несмотря на то что Беркли отрицал существование мира вне нас, а Юм, Гераклит, Платон и Милль признавали это только с различными оговорками и ограничениями, физики и математики убеждены в том, что внешний мир существует. Они утверждают, что даже если бы все люди внезапно исчезли, то внешний, или физический, мир продолжал бы существовать. Если в чаще леса на землю падает дерево, то звук раздается независимо от того, слышит его кто-нибудь или не слышит. Мы наделены пятью чувствами: зрением, слухом, осязанием, вкусом и обонянием, и каждое из них непрерывно воспринимает «послания» из этого мира.

Из практических соображений, а именно для того, чтобы выжить или иметь возможность улучшить условия бытия в реальном мире, мы определенно хотим знать об этом мире как можно больше. Нам необходимо отличать сушу от моря. Нам нужно выращивать съедобные растения и разводить животных, строить укрытия и защищаться от диких зверей. Почему бы нам для достижения этих целей не полагаться на свои органы чувств? Ведь именно так поступают примитивные цивилизации. Но подобно тому, как мир чист для того, кто чист сердцем, мир прост для того, кто простодушен.

Пытаясь улучшить материальные условия своего существования, мы вынуждены расширять наше знание внешнего мира. Это побуждает нас напрягать до предела и наши органы чувств. К сожалению, они не только ограничены по своим возможностям, но и способны вводить нас в заблуждение. Если бы мы полагались только на наши органы чувств, то последствия этого могли бы быть самыми печальными. Нетрудно назвать случаи, когда наши чувства обманывают нас.

Самым ценным из пяти чувств, по-видимому, является зрение, и следует прежде всего проверить, в какой мере мы можем доверять ему. Начнем с примеров. За долгие годы ученые придумали и построили много обманчивых картинок, наглядно демонстрирующих, сколь ограничены возможности нашего глаза. Физики и астрономы в XIX в. проявляли большой интерес к оптическим иллюзиям, ибо их очень заботила надежность визуальных наблюдений. На рис. 1 показана T-образная фигура, предложенная Вильгельмом Вундтом, ассистентом знаменитого естествоиспытателя Германа Гельмгольца (1821-1894). При взгляде на эту картинку кажется, что вертикальная линия длиннее горизонтальной, хотя в действительности обе они имеют равную длину. Иллюзию Вундта можно обратить: на рис. 2 показана другая Т-образная фигура, у которой обе линии — горизонтальная и вертикальная — кажутся одинаковыми по длине, в действительности же горизонтальная линия длиннее.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3, который предложил в 1899 г. Франц Мюллер-Лайер, дает нам пример иллюзии другого рода. Она известна под названием иллюзии Эрнста Маха. В действительности здесь обе горизонтальные линии имеют одинаковую длину.

Рис. 3.

Рис. 4.

На рис. 5 верхнее основание нижней трапеции кажется короче верхнего основания верхней трапеции. Попутно заметим, что, как ни трудно в это поверить, максимальная ширина нижней трапеции по горизонтали превышает ее высоту.

Рис. 5.

На рис. 6 поразительную иллюзию создают углы — тупой и острый: диагонали AB и AC двух параллелограммов равны, хотя диагональ AC кажется гораздо короче.

Рис. 6.

Удивительное впечатление производит также картинка с двумя наклонными линиями, пересекаемыми двумя вертикальными прямыми (рис. 7). Если правую наклонную линию продолжить, то она пересечется с левой в ее верхнем конце. Кажущаяся точка пересечения расположена несколько ниже. Эту хорошо известную иллюзию приписывают Иоганну Поггендорфу (около 1860).

Рис. 7.

Три горизонтальных отрезка на рис. 8 равны, хотя кажется, что они имеют различную длину. Эта иллюзия обусловлена величиной углов, образуемых с горизонтальными отрезками линий на концах. В определенных пределах больший угол вызывает иллюзию большего удлинения центрального горизонтального участка.

Рис. 8.

Поразительная иллюзия контраста изображена на рис. 9. Окружности в центре левой и правой фигур равны, хотя окружность в обрамлении шести окружностей большего радиуса кажется меньше, чем окружность в обрамлении шести окружностей меньшего радиуса. 

Рис. 9. 

Другой механизм лежит в основе иллюзии Мюллера-Лайера. Линии, отходящие от верхнего и нижнего концов вертикального отрезка A на рис. 10, воспринимаются как верхние и нижние края двух стен, образующих выступающий угол. Вертикальное ребро A выходит на первый план «сцены реального мира». Справа на рис. 10 две стены образуют угол, уходящий от зрителя. В результате вертикальное ребро